Nombres reals vs nombres imaginaris
Els nombres són objectes matemàtics que s'utilitzen per comptar i mesurar. La seva definició ha canviat al llarg dels anys amb la suma de zero, nombres negatius, nombres racionals, nombres irracionals i nombres imaginaris. Tot i que la base abstracta dels sistemes numèrics es relaciona amb estructures algebraiques com ara grups, anells i camps, aquí només es presenta una idea intuïtiva.
Què és un nombre real?
De manera informal, un nombre real és un nombre el quadrat del qual no és negatiu. En notació matemàtica, denotem el conjunt de nombres reals amb el símbol R. Per tant, per a tota x, si x ϵ R aleshores x 2 ≥ 0. D'una manera més rigorosa, es pot introduir el conjunt de nombres reals com el camp únic i totalment ordenat amb l'operació binària + i. juntament amb la relació d'ordre <. Aquesta relació d'ordre segueix la llei de la tricotomia, que estableix que donats dos nombres reals x i y, un i només un d'aquests 3 es compleix; x > y, x < y o x=y.
Un nombre real pot ser algebraic o transcendental depenent de si és una arrel d'una equació polinòmica amb coeficients enters o no. A més, un nombre real pot ser racional o irracional depenent de si es pot expressar com a raó de dos nombres enters o no. Per exemple, 2,5 és un nombre real, que és algebraic i racional, però ᴫ és irracional i transcendental.
El conjunt de nombres reals està complet. Vol dir que per a cada subconjunt no buit de nombres reals que està acotat a d alt, té un límit superior mínim, i d'això, es pot deduir que per a cada subconjunt no buit de nombres reals que està acotat per sota, té el límit inferior més gran. Això distingeix el conjunt de nombres reals del conjunt de nombres racionals. Es pot argumentar que el conjunt de nombres reals es construeix omplint els buits del conjunt de nombres racionals incomplets, sent els buits nombres irracionals.
Què és un nombre imaginari?
Un nombre imaginari és un nombre el quadrat del qual és negatiu. En altres paraules, nombres com √(-1), √(-100) i √(- e) són nombres imaginaris. Tots els nombres imaginaris es poden escriure en la forma a i on i és la ‘unitat imaginària’ √(-1) i a és un nombre real diferent de zero. (Observeu que i2=-1). Tot i que aquests números semblen no reals i com el seu nom indica inexistents, s'utilitzen en moltes aplicacions essencials del món real, en camps com l'aviació, l'electrònica i l'enginyeria.
Quina diferència hi ha entre els nombres reals i els nombres imaginaris?• El quadrat d'un nombre real no és negatiu, però el quadrat d'un nombre imaginari és negatiu. • El conjunt de nombres reals forma un camp complet totalment ordenat, mentre que el conjunt de nombres imaginaris no està ni complet ni ordenat. |
