Cardinal vs Ordinal
En el nostre dia a dia, l'ús dels números pot adoptar diferents formes en diferents situacions. Per exemple, quan comptem per esbrinar la mida d'una col·lecció d'objectes, els comptem com un, dos, tres, etc. Quan volem comptar alguna cosa per obtenir el sentit de la posició dels objectes, els comptem com a primer, segon, tercer, etc. En la primera forma de recompte, es diu que els nombres són nombres cardinals. En la segona forma de recompte, els nombres es consideren nombres ordinals. En aquest context, els conceptes cardinal i ordinal són completament una qüestió de lingüística; cardinal i ordinal són adjectius.
No obstant això, l'extensió del concepte als conjunts en matemàtiques revela una perspectiva molt més profunda i àmplia i no es pot tractar en termes senzills. En aquest article, intentarem entendre els conceptes fonamentals dels nombres cardinals i ordinals a les matemàtiques.
Les definicions formals dels nombres cardinals i ordinals es proporcionen a la teoria de conjunts. Les definicions són intricades i per entendre-les en un sentit perfecte cal coneixements bàsics en teoria de conjunts. Per tant, anirem cap a un parell d'exemples, per entendre els conceptes heurístics.
Considereu els dos conjunts {1, 3, 6, 4, 5, 2} i {autobús, cotxe, ferri, tren, avió, helicòpter}. Cada conjunt enumera un conjunt d'elements, i si comptem el nombre d'elements és evident que cadascun té el mateix nombre d'elements, que és 6. Arribats a aquesta conclusió hem pres la mida d'un conjunt i hem comparat amb un altre utilitzant un nombre. Aquest nombre s'anomena nombre cardinal. Per tant, podem dir que un nombre cardinal és un nombre que podem utilitzar per comparar la mida dels conjunts finits.
De nou, el primer conjunt de números es pot ordenar en ordre ascendent tenint en compte la mida de cada element i comparant-los. En el procés d'ordenació, els números es consideren cardenals. De la mateixa manera, el conjunt de tots els nombres enters no negatius es pot ordenar en un conjunt; és a dir, {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Però en aquest cas, la mida del conjunt esdevé infinita i no és possible donar-lo en termes d'ordinals. Per molt gran que sigui el nombre que trieu per donar la mida del conjunt, encara quedaran números fora del conjunt que trieu i que són nombres enters no negatius.
Per tant, els matemàtics defineixen aquest cardenal infinit (que és el primer) com Aleph-0, escrit com a א (primera lletra de l'alfabet hebreu). Formalment, el nombre ordinal és el tipus d'ordre d'un conjunt ben ordenat. Per tant, el nombre ordinal dels conjunts finits es pot donar per nombres cardinals, però per a conjunts infinits l'ordinal està donat per nombres transfinits com Aleph-0.
Quina diferència hi ha entre els nombres cardinals i els ordinals?
• El nombre cardinal és un nombre que es pot utilitzar per comptar o per donar la mida d'un conjunt ordenat finit. Tots els nombres cardinals són ordinals.
• Els nombres ordinals són nombres utilitzats per donar la mida de conjunts ordenats tant finits com infinits. La mida dels conjunts ordenats finits ve donada per nombres algebraics hindú-àrabs habituals, i la mida del conjunt infinit ve donada per nombres transfinits.
