Derivada vs integral
La diferenciació i la integració són dues operacions fonamentals en càlcul. Tenen nombroses aplicacions en diversos camps, com ara les matemàtiques, l'enginyeria i la física. Tant la derivada com la integral discuteixen el comportament d'una funció o comportament d'una entitat física que ens interessa.
Què és la derivada?
Suposem que y=ƒ(x) i x0 és al domini de ƒ. Aleshores limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx s'anomena taxa de canvi instantània de ƒ a x0, sempre que aquest límit existeixi de manera finita. Aquest límit també s'anomena derivada de a i es denota amb ƒ(x).
El valor de la derivada d'una funció f en un punt arbitrari x del domini de la funció ve donat per limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Això s'indica amb qualsevol de les expressions següents: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Per a funcions amb diverses variables, definim derivada parcial. La derivada parcial d'una funció amb diverses variables és la seva derivada respecte a una d'aquestes variables, assumint que les altres variables són constants. El símbol de la derivada parcial és ∂.
Geomètricament, la derivada d'una funció es pot interpretar com el pendent de la corba de la funció ƒ(x).
Què és integral?
La integració o antidiferenciació és el procés invers de la diferenciació. En altres paraules, és el procés de trobar una funció original quan es dóna la derivada de la funció. Per tant, una integral o una antiderivada d'una funció ƒ(x) si, ƒ(x)=F (x) es pot definir com la funció F (x), per a tot x en el domini de ƒ(x).
L'expressió ∫ƒ(x) dx denota la derivada de la funció ƒ(x). Si ƒ(x)=F (x), aleshores ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, on C és una constant, ∫ƒ(x) dx s'anomena integral indefinida de ƒ(x).
Per a qualsevol funció ƒ, que no és necessàriament no negativa, i definida a l'interval [a, b], a∫b ƒ(x) dx s'anomena integral definida ƒ a [a, b].
La integral definida a∫bƒ(x) dx d'una funció ƒ(x) es pot interpretar geomètricament com l'àrea de la regió limitada per la corba ƒ(x), l'eix x i les línies x=a i x=b.
Quina diferència hi ha entre la derivada i la integral?
• La derivada és el resultat de la diferenciació del procés, mentre que la integral és el resultat de la integració del procés.
• La derivada d'una funció representa el pendent de la corba en qualsevol punt donat, mentre que la integral representa l'àrea sota la corba.
