Diferenciació versus derivada
En el càlcul diferencial, la derivada i la diferenciació estan estretament relacionades, però molt diferents, i s'utilitzen per representar dos conceptes matemàtics importants relacionats amb les funcions.
Què és la derivada?
La derivada d'una funció mesura la velocitat a la qual canvia el valor de la funció a mesura que canvia la seva entrada. En funcions multivariables, el canvi en el valor de la funció depèn de la direcció del canvi dels valors de les variables independents. Per tant, en aquests casos, s'escull una direcció específica i la funció es diferencia en aquesta direcció concreta. Aquesta derivada s'anomena derivada direccional. Les derivades parcials són un tipus especial de derivades direccionals.
La derivada d'una funció vectorial f es pot definir com el límit [làtex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] sempre que existeixi de manera finita. Com s'ha esmentat abans, això ens dóna la taxa d'augment de la funció f al llarg de la direcció del vector u. En el cas d'una funció d'un sol valor, això es redueix a la coneguda definició de la derivada, [làtex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Per exemple, [làtex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] és diferenciable a tot arreu i la derivada és igual al límit, [làtex]\\lim_{h \\a 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], que és igual a [làtex]3x^{2}+4[/latex]. Les derivades de funcions com ara [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existeixen a tot arreu. Són, respectivament, iguals a les funcions [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Això es coneix com la primera derivada. Normalment, la primera derivada de la funció f es denota amb f (1) Ara fent servir aquesta notació, és possible definir derivades d'ordre superior. [làtex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\a 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] és la derivada direccional de segon ordre, i denota la n è derivada amb f (n) per a cada n, [làtex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\a 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], defineix la n th derivada.
Què és la diferenciació?
La diferenciació és el procés de trobar la derivada d'una funció diferenciable. L'operador D indicat per D representa la diferenciació en alguns contextos. Si x és la variable independent, aleshores D ≡ d/dx. L'operador D és un operador lineal, és a dir, per a dues funcions diferenciables f i g i constant c, les propietats seguides es mantenen.
I. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
Usant l'operador D, les altres regles associades a la diferenciació es poden expressar de la següent manera. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 i D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Per exemple, quan F(x)=x 2sin x es diferencia respecte a x utilitzant les regles donades, la resposta serà 2 x sin x + x2cos x.
Quina diferència hi ha entre la diferenciació i la derivada?• La derivada fa referència a una taxa de canvi d'una funció • La diferenciació és el procés de trobar la derivada d'una funció. |
