Diferència entre la integral de Riemann i la integral de Lebesgue

2024 Autora: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 13:34

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

La integració és un tema principal del càlcul. En un sentit més ampli, la integració es pot veure com el procés invers de diferenciació. Quan es modelen problemes del món real, és fàcil escriure expressions que impliquin derivades. En aquesta situació, cal l'operació d'integració per trobar la funció que va donar la derivada particular.

Des d'un altre angle, la integració és un procés, que suma el producte d'una funció ƒ(x) i δx, on δx tendeix a ser un cert límit. Per això, utilitzem el símbol d'integració com a ∫. El símbol ∫ és, de fet, el que obtenim estirant la lletra s per referir-se a la suma.

Riemann Integral

Considereu una funció y=ƒ(x). La integral de y entre a i b, on a i b pertanyen a un conjunt x, s'escriu com a _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Això s'anomena integral definida de la funció de valor únic i contínua y=ƒ(x) entre a i b. Això dóna l'àrea sota la corba entre a i b. També s'anomena integral de Riemann. La integral de Riemann va ser creada per Bernhard Riemann. La integral de Riemann d'una funció contínua es basa en la mesura de Jordan, per tant, també es defineix com el límit de les sumes de Riemann de la funció. Per a una funció de valor real definida en un interval tancat, la integral de Riemann de la funció respecte a una partició x₁, x₂, …, x n _{definit a l'interval [a, b] i t}1_{, t}2_{, …, t n}, on x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 per cada i ε {1, 2, …, n}, la suma de Riemann es defineix com Σ_{i=o a n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue és un altre tipus d'integral, que cobreix una gran varietat de casos que la integral de Riemann. La integral de Lebesgue va ser introduïda per Henri Lebesgue el 1902. La integració de Legesgue es pot considerar com una generalització de la integració de Riemann.

Per què hem d'estudiar una altra integral?

Considerem la funció característica ƒ_{A (x)=}{_{0 si, x no ε A}^{1 si, x ε A} en un conjunt A. Aleshores, combinació lineal finita de funcions característiques, que es defineix com F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) s'anomena funció simple si E} i _{és mesurable per a cada i. La integral de Lebesgue de F (x) sobre E es denota amb} E_{∫ ƒ(x)dx. La funció F (x) no és integrable de Riemann. Per tant, la integral de Lebesgue és una integral de Riemann reformulada, que té algunes restriccions sobre les funcions a integrar.}

Quina diferència hi ha entre la integral de Riemann i la integral de Lebesgue?

· La integral de Lebesgue és una forma de generalització de la integral de Riemann.

· La integral de Lebesgue permet una infinitat comptable de discontinuïtats, mentre que la integral de Riemann permet un nombre finit de discontinuïtats.