Derivada vs diferencial
En el càlcul diferencial, la derivada i la diferencial d'una funció estan estretament relacionades, però tenen significats molt diferents i s'utilitzen per representar dos objectes matemàtics importants relacionats amb funcions diferenciables.
Què és la derivada?
La derivada d'una funció mesura la velocitat a la qual canvia el valor de la funció a mesura que canvia la seva entrada. En funcions multivariables, el canvi en el valor de la funció depèn de la direcció del canvi dels valors de les variables independents. Per tant, en aquests casos, s'escull una direcció específica i la funció es diferencia en aquesta direcció concreta. Aquesta derivada s'anomena derivada direccional. Les derivades parcials són un tipus especial de derivades direccionals.
La derivada d'una funció vectorial f es pot definir com el límit [làtex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] sempre que existeixi de manera finita. Com s'ha esmentat abans, això ens dóna la taxa d'augment de la funció f al llarg de la direcció del vector u. En el cas d'una funció d'un sol valor, això es redueix a la coneguda definició de la derivada, [làtex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Per exemple, [làtex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] és diferenciable a tot arreu i la derivada és igual al límit, [làtex]\\lim_{h \\a 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], que és igual a [làtex]3x^{2}+4[/latex]. Les derivades de funcions com ara [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existeixen a tot arreu. Són, respectivament, iguals a les funcions [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Això es coneix com la primera derivada. Normalment, la primera derivada de la funció f es denota amb f (1) Ara fent servir aquesta notació, és possible definir derivades d'ordre superior. [làtex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\a 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] és la derivada direccional de segon ordre, i denota la n è derivada amb f (n) per a cada n, [làtex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\a 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], defineix la n th derivada.
Què és el diferencial?
El diferencial d'una funció representa el canvi en la funció respecte als canvis en la variable o variables independents. En la notació habitual, per a una funció donada f d'una sola variable x, la diferencial total d'ordre 1 df ve donada per, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Això vol dir que per a un canvi infinitesimal en x (és a dir, d x), hi haurà un canvi f (1)(x)d x en f.
Usant límits es pot arribar a aquesta definició de la següent manera. Suposem que ∆ x és el canvi en x en un punt arbitrari x i ∆ f és el canvi corresponent en la funció f. Es pot demostrar que ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, on ϵ és l'error. Ara, el límit ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (utilitzant la definició de derivada indicada anteriorment) i per tant, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Per tant, és possible conclou que, ∆ x→ 0 ϵ=0. Ara, denotant ∆ x→ 0 ∆ f com d f i ∆ x→ 0 ∆ x com d x s'obté rigorosament la definició de la diferencial.
Per exemple, el diferencial de la funció [làtex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] és [làtex](3x^{2}+4)dx[/làtex].
En el cas de funcions de dues o més variables, el diferencial total d'una funció es defineix com la suma de diferencials en les direccions de cadascuna de les variables independents. Matemàticament, es pot indicar com [làtex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Quina diferència hi ha entre derivada i diferencial?
• La derivada es refereix a una taxa de canvi d'una funció, mentre que el diferencial es refereix al canvi real de la funció, quan la variable independent està sotmesa a canvi.
• La derivada ve donada per [làtex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], però el diferencial ve donat per [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
