Població versus desviació estàndard de mostra
En les estadístiques, s'utilitzen diversos índexs per descriure un conjunt de dades corresponent a la seva tendència central, dispersió i asimetria. La desviació estàndard és una de les mesures més habituals de dispersió de dades des del centre del conjunt de dades.
A causa de dificultats pràctiques, no es podrà fer ús de dades de tota la població quan es comprovi una hipòtesi. Per tant, utilitzem valors de dades de mostres per fer inferències sobre la població. En aquesta situació, aquests s'anomenen estimadors ja que estimen els valors dels paràmetres de població.
És extremadament important utilitzar estimadors imparcials en inferència. Es diu que un estimador és imparcial si el valor esperat d'aquest estimador és igual al paràmetre de població. Per exemple, utilitzem la mitjana mostral com a estimador no esbiaixat per a la mitjana de la població. (Matemàticament, es pot demostrar que el valor esperat de la mitjana mostral és igual a la mitjana de la població). En el cas d'estimar la desviació estàndard de la població, la desviació estàndard de la mostra també és un estimador no esbiaixat.
Què és la desviació estàndard de la població?
Quan es poden tenir en compte dades de tota la població (per exemple, en el cas d'un cens), és possible calcular la desviació estàndard de la població. Per calcular la desviació estàndard de la població, primer es calculen les desviacions dels valors de les dades de la mitjana de la població. L'arrel quadrada mitjana (mitjana quadrada) de les desviacions s'anomena desviació estàndard de la població.
En una classe de 10 estudiants, es poden recollir fàcilment dades sobre els estudiants. Si es prova una hipòtesi en aquesta població d'estudiants, no cal utilitzar valors de mostra. Per exemple, el pes dels 10 alumnes (en quilograms) es mesura com a 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 i 79. Aleshores el pes mitjà de les deu persones (en quilograms) és (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, que és 71 (en quilograms). Aquesta és la mitjana de la població.
Ara per calcular la desviació estàndard de la població, calculem les desviacions de la mitjana. Les desviacions respectives de la mitjana són (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 i (79 – 71)=8. La suma dels quadrats de desviació és (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. La desviació estàndard de la població és √(366/10)=6,05 (en quilograms). 71 és el pes mitjà exacte dels alumnes de la classe i 6.05 és la desviació estàndard exacta del pes de 71.
Què és la desviació estàndard de la mostra?
Quan les dades d'una mostra (de mida n) s'utilitzen per estimar paràmetres de la població, es calcula la desviació estàndard de la mostra. Primer es calculen les desviacions dels valors de les dades respecte a la mitjana mostral. Com que la mitjana mostral s'utilitza en lloc de la mitjana de la població (que es desconeix), prendre la mitjana quadràtica no és adequada. Per compensar l'ús de la mitjana mostral, la suma de quadrats de desviacions es divideix per (n-1) en lloc de n. La desviació estàndard de la mostra és l'arrel quadrada d'aquesta. En símbols matemàtics, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, on S és la desviació estàndard de la mostra, ẍ és la mitjana mostral i xi són els punts de dades.
Ara suposa que, en l'exemple anterior, la població són els alumnes de tota l'escola. Aleshores, la classe serà només una mostra. Si s'utilitza aquesta mostra en l'estimació, la desviació estàndard de la mostra serà √(366/9)=6.38 (en quilograms) ja que 366 es va dividir per 9 en lloc de 10 (la mida de la mostra). El fet a observar és que no es garanteix que aquest sigui el valor exacte de la desviació estàndard de la població. És només una estimació.
Quina diferència hi ha entre la desviació estàndard de la població i la desviació estàndard de la mostra?
• La desviació estàndard de la població és el valor exacte del paràmetre utilitzat per mesurar la dispersió des del centre, mentre que la desviació estàndard de la mostra n'és un estimador imparcial.
• La desviació estàndard de la població es calcula quan es coneixen totes les dades relatives a cada individu de la població. En cas contrari, es calcula la desviació estàndard de la mostra.
• La desviació estàndard de la població ve donada per σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} on µ és la mitjana de la població i n és la mida de la població, però la la desviació estàndard de la mostra ve donada per S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} on ẍ és la mitjana mostral i n és la mida de la mostra.
