Variables aleatòries versus distribució de probabilitat
Els experiments estadístics són experiments aleatoris que es poden repetir indefinidament amb un conjunt conegut de resultats. Tant les variables aleatòries com les distribucions de probabilitat estan associades amb aquests experiments. Per a cada variable aleatòria, hi ha una distribució de probabilitat associada definida per una funció anomenada funció de distribució acumulada.
Què és una variable aleatòria?
Una variable aleatòria és una funció que assigna valors numèrics als resultats d'un experiment estadístic. En altres paraules, és una funció definida des de l'espai mostral d'un experiment estadístic al conjunt de nombres reals.
Per exemple, considereu un experiment aleatori de llançar una moneda dues vegades. Els possibles resultats són HH, HT, TH i TT (H - caps, T - contes). Sigui la variable X el nombre de caps observats en l'experiment. Aleshores, X pot prendre els valors 0, 1 o 2, i és una variable aleatòria. Aquí, la variable aleatòria X mapejarà el conjunt S={HH, HT, TH, TT} (l'espai mostral) al conjunt {0, 1, 2} de tal manera que HH s'assigni a 2, HT i TH s'assignen a 1 i TT s'assigna a 0. En notació de funcions, això es pot escriure com, X: S → R on X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 i X(TT)=0.
Hi ha dos tipus de variables aleatòries: discretes i contínues, per tant, el nombre de valors possibles que pot assumir una variable aleatòria és com a molt comptable o no. A l'exemple anterior, la variable aleatòria X és una variable aleatòria discreta ja que {0, 1, 2} és un conjunt finit. Ara, considereu l'experiment estadístic de trobar els pesos dels estudiants d'una classe. Sigui Y la variable aleatòria definida com el pes d'un estudiant. Y pot prendre qualsevol valor real dins d'un interval específic. Per tant, Y és una variable aleatòria contínua.
Què és una distribució de probabilitat?
La distribució de probabilitat és una funció que descriu la probabilitat que una variable aleatòria prengui determinats valors.
Una funció anomenada funció de distribució acumulada (F) es pot definir del conjunt de nombres reals al conjunt de nombres reals com F(x)=P(X ≤ x) (la probabilitat que X sigui menor que o igual a x) per a cada possible resultat x. Ara la funció de distribució acumulada de X en el primer exemple es pot escriure com F(a)=0, si a<0; F(a)=0,25, si 0≤a<1; F(a)=0,75, si 1≤a<2 i F(a)=1, si a≥2.
En el cas de variables aleatòries discretes, es pot definir una funció del conjunt de resultats possibles al conjunt de nombres reals de tal manera que ƒ(x)=P(X=x) (la probabilitat de X sent igual a x) per a cada possible resultat x. Aquesta funció particular ƒ s'anomena funció de massa de probabilitat de la variable aleatòria X. Ara la funció de massa de probabilitat de X en el primer exemple particular es pot escriure com ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 i ƒ(x)=0 en cas contrari. Així, la funció de massa de probabilitat juntament amb la funció de distribució acumulada descriurà la distribució de probabilitat de X al primer exemple.
En el cas de variables aleatòries contínues, una funció anomenada funció de densitat de probabilitat (ƒ) es pot definir com ƒ(x)=dF(x)/dx per a cada x on F és la funció de distribució acumulada de la variable aleatòria contínua. És fàcil veure que aquesta funció compleix ∫ƒ(x)dx=1. La funció de densitat de probabilitat juntament amb la funció de distribució acumulada descriuen la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria contínua. Per exemple, la distribució normal (que és una distribució de probabilitat contínua) es descriu utilitzant la funció de densitat de probabilitat ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Quina diferència hi ha entre les variables aleatòries i la distribució de probabilitats?
• La variable aleatòria és una funció que associa els valors d'un espai mostral a un nombre real.
• La distribució de probabilitat és una funció que associa els valors que una variable aleatòria pot prendre a la probabilitat d'ocurrència corresponent.
