Funció de distribució de probabilitats versus funció de densitat de probabilitat
La probabilitat és la probabilitat que succeeixi un esdeveniment. Aquesta idea és molt comuna i s'utilitza amb freqüència en el dia a dia quan avaluem les nostres oportunitats, transaccions i moltes altres coses. Ampliar aquest concepte senzill a un conjunt més gran d'esdeveniments és una mica més difícil. Per exemple, no podem esbrinar fàcilment les possibilitats de guanyar una loteria, però és convenient, més aviat intuïtiu, dir que hi ha una probabilitat que un de cada sis obtingui el número sis en un dau llançat.
Quan el nombre d'esdeveniments que poden tenir lloc és cada cop més gran, o el nombre de possibilitats individuals és gran, aquesta idea més aviat senzilla de probabilitat falla. Per tant, s'ha de donar una definició matemàtica sòlida abans d'abordar problemes amb més complexitat.
Quan el nombre d'esdeveniments que poden tenir lloc en una mateixa situació és gran, és impossible considerar cada esdeveniment individualment com en l'exemple dels daus llançats. Per tant, tot el conjunt d'esdeveniments es resumeix introduint el concepte de variable aleatòria. És una variable, que pot assumir els valors de diferents esdeveniments en aquella situació particular (o l'espai mostral). Dóna un sentit matemàtic als esdeveniments simples de la situació i una manera matemàtica d'abordar l'esdeveniment. Més precisament, una variable aleatòria és una funció de valor real sobre els elements de l'espai mostral. Les variables aleatòries poden ser discretes o contínues. Normalment es denoten amb les lletres majúscules de l'alfabet anglès.
La funció de distribució de probabilitat (o simplement, la distribució de probabilitat) és una funció que assigna els valors de probabilitat per a cada esdeveniment; és a dir, proporciona una relació amb les probabilitats dels valors que pot prendre la variable aleatòria. La funció de distribució de probabilitat es defineix per a variables aleatòries discretes.
La funció de densitat de probabilitat és l'equivalent a la funció de distribució de probabilitat per a les variables aleatòries contínues, dóna la probabilitat que una determinada variable aleatòria assumeixi un determinat valor.
Si X és una variable aleatòria discreta, la funció donada com a f (x)=P (X=x) per a cada x dins del rang de X s'anomena funció de distribució de probabilitat. Una funció pot servir com a funció de distribució de probabilitat si i només si la funció compleix les condicions següents.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Una funció f (x) que es defineix sobre el conjunt de nombres reals s'anomena funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria contínua X, si i només si, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx per a qualsevol constant real a i b.
La funció de densitat de probabilitat també hauria de complir les condicions següents.
1. f (x) ≥ 0 per a tots els x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Tant la funció de distribució de probabilitat com la funció de densitat de probabilitat s'utilitzen per representar la distribució de probabilitats sobre l'espai mostral. Normalment, aquestes s'anomenen distribucions de probabilitat.
Per al modelatge estadístic, es deriven funcions estàndard de densitat de probabilitat i funcions de distribució de probabilitat. La distribució normal i la distribució normal estàndard són exemples de distribucions de probabilitat contínues. La distribució binomial i la distribució de Poisson són exemples de distribucions de probabilitat discretes.
Quina diferència hi ha entre la distribució de probabilitat i la funció de densitat de probabilitat?
• La funció de distribució de probabilitat i la funció de densitat de probabilitat són funcions definides sobre l'espai mostral, per assignar el valor de probabilitat rellevant a cada element.
• Les funcions de distribució de probabilitats es defineixen per a les variables aleatòries discretes mentre que les funcions de densitat de probabilitat es defineixen per a les variables aleatòries contínues.
• La distribució de valors de probabilitat (és a dir, distribucions de probabilitat) es representen millor mitjançant la funció de densitat de probabilitat i la funció de distribució de probabilitat.
• La funció de distribució de probabilitat es pot representar com a valors en una taula, però això no és possible per a la funció de densitat de probabilitat perquè la variable és contínua.
• Quan es representa, la funció de distribució de probabilitat dóna una gràfica de barres mentre que la funció de densitat de probabilitat dóna una corba.
• L'alçada/longitud de les barres de la funció de distribució de probabilitat ha de sumar 1 mentre que l'àrea sota la corba de la funció de densitat de probabilitat ha de sumar 1.
• En tots dos casos, tots els valors de la funció han de ser no negatius.
