Transposició versus matriu inversa
La transposició i la inversa són dos tipus de matrius amb propietats especials que trobem a l'àlgebra matricial. Són diferents entre si, i no comparteixen una relació estreta ja que les operacions que es fan per obtenir-les són diferents.
Tenen àmplies aplicacions en el camp de l'àlgebra lineal i les implementacions derivades com la informàtica.
Més informació sobre Transpose Matrix
La transposició d'una matriu A es pot identificar com la matriu obtinguda reordenant les columnes com a files o les files com a columnes. Com a resultat, els índexs de cada element s'intercanvien. Més formalment, la transposició de la matriu A, es defineix com
on
En una matriu transposada, la diagonal es manté sense canvis, però tots els altres elements giren al voltant de la diagonal. A més, la mida de les matrius també canvia de m×n a n×m.
La transposició té algunes propietats importants i permeten una manipulació més fàcil de les matrius. A més, es defineixen algunes matrius transposades importants en funció de les seves característiques. Si la matriu és igual a la seva transposició, aleshores la matriu és simètrica. Si la matriu és igual al seu negatiu de la transposició, la matriu és una simètrica sesgada. La transposició conjugada d'una matriu és la transposició de la matriu amb els elements substituïts pel seu conjugat complex.
Més informació sobre la matriu inversa
La inversa d'una matriu es defineix com una matriu que dóna la matriu d'identitat quan es multiplica. Per tant, per definició, si AB=BA=I aleshores B és la matriu inversa de A i A és la matriu inversa de B. Així, si considerem B=A -1, aleshores AA -1 =A -1 A=I
Perquè una matriu sigui invertible, la condició necessària i suficient és que el determinant de A no sigui zero; és a dir | A |=det(A) ≠ 0. Es diu que una matriu és inversible, no singular o no degenerativa si compleix aquesta condició. Es dedueix que A és una matriu quadrada i tant A -1 com A tenen la mateixa mida.
La inversa de la matriu A es pot calcular mitjançant molts mètodes en àlgebra lineal, com ara l'eliminació gaussiana, la composició pròpia, la descomposició de Cholesky i la regla de Carmer. Una matriu també es pot invertir mitjançant el mètode d'inversió de blocs i la sèrie de Neuman.
Quina diferència hi ha entre la transposició i la matriu inversa?
• La transposició s'obté reordenant les columnes i les files de la matriu mentre que la inversa s'obté mitjançant un càlcul numèric relativament difícil. (Però en realitat totes dues són transformacions lineals)
• Com a resultat directe, els elements de la transposició només canvien la seva posició, però els valors són els mateixos. Però a la inversa, els nombres poden ser completament diferents de la matriu original.
• Cada matriu pot tenir una transposició, però la inversa només es defineix per a matrius quadrades i el determinant ha de ser un determinant diferent de zero.
