Transposició vs Transposició conjugada
La transposició d'una matriu A es pot identificar com la matriu obtinguda reordenant les columnes com a files o les files com a columnes. Com a resultat, els índexs de cada element s'intercanvien. Més formalment, la transposició d'una matriu A, es defineix com
on
En una matriu transposada, la diagonal es manté sense canvis. Però tots els altres elements giren al voltant de la diagonal. A més, la mida de les matrius també canvia de m×n a n×m.
La transposició té algunes propietats importants i permeten una manipulació més fàcil de les matrius. A més, es defineixen algunes matrius transposades importants en funció de les seves característiques. Si la matriu és igual a la seva transposició, aleshores la matriu és simètrica. Si la matriu és igual al seu negatiu de la transposició, aleshores la matriu és simètrica asimètrica.
La transposició conjugada d'una matriu és la transposició de la matriu amb els elements substituïts pel seu complex conjugat. És a dir, el conjugat complex (A) es defineix com la transposició del conjugat complex de la matriu A.
A=(Ā)T; En detall,
on
i āji ε C.
També es coneix com a transposició hermitià i conjugat hermitià. Si la transposició conjugada és igual a la matriu mateixa, la matriu es coneix com a matriu hermitiana. Si la transposició conjugada és igual al negatiu de la matriu, és una matriu hermitiana sesgada. I si la inversa de la matriu és igual al complex conjugat, la matriu és unitària.
De la mateixa manera, tots els conjugats complexos de matrius especials també tenen propietats especials que es poden utilitzar per manipular-los matemàticament fàcilment. La transposició conjugada s'utilitza àmpliament en la mecànica quàntica i els seus camps rellevants.
Quina diferència hi ha entre la transposició i la transposició conjugada?
• La transposició d'una matriu s'obté reordenant columnes en files, o files en columnes. El conjugat complex d'una matriu s'obté substituint cada element pel seu conjugat complex (és a dir, x+iy ⇛ x-iy o viceversa). La transposició conjugada s'obté fent les dues operacions a la matriu.
• Per tant, la transposició conjugada és només una matriu de transposició amb els seus conjugats complexos com a elements.
