Matriu adjunta vs inversa
Tant la matriu adjunta com la matriu inversa s'obtenen a partir d'operacions lineals sobre una matriu, i són dues matrius diferents amb propietats diferents.
Més informació sobre la matriu adjunta o adjugada (clàssica)
La matriu adjunta o la matriu adjugada és la transposició de la matriu de cofactors. Si la matriu de cofactors de A és C, aleshores la matriu adjugada de A ve donada per C T. és a dir, adj(A)=C T.
La matriu del cofactor ve donada per C=(-1)i+j M ij, on M ij és el menor de l'element ijth. El determinant de la matriu obtingut eliminant la fila ith i la columna jth es coneix com el menor de la ijthelement. [Per calcular la matriu adjugada, primer trobeu els menors de cada element, després formeu la matriu de cofactors, finalment prenent la transposició de que dóna la matriu adjugada].
L'adjunt es pot utilitzar per calcular la inversa d'una matriu i per trobar la derivada d'un determinant mitjançant la fórmula de Jacobi. El terme "adjunt" està bastant obsolet i ara s'utilitza per a conjugar complex d'una matriu. Per tant, el terme adequat és matriu adjugada o matriu adjunta.
Més informació sobre la matriu inversa
La inversa d'una matriu es defineix com una matriu que dóna la matriu d'identitat quan es multiplica. Per tant, per definició, si AB=BA=I, aleshores B és la matriu inversa de A i A és la matriu inversa de B. Així, si considerem B=A -1, aleshores AA -1 =A -1 A=I
Perquè una matriu sigui inversible, la condició necessària i suficient és que el determinant de A no sigui zero.és a dir | A |=det(A) ≠ 0. Es diu que una matriu és inversible, no singular o no degenerativa si compleix aquesta condició. Es dedueix que A és una matriu quadrada i tant A -1 com A tenen la mateixa mida.
La inversa de la matriu A es pot calcular mitjançant molts mètodes en àlgebra lineal, com ara l'eliminació gaussiana, la composició pròpia, la descomposició de Cholesky i la regla de Carmer. Una matriu també es pot invertir mitjançant el mètode d'inversió de blocs i la sèrie de Neumann.
La regla de Cramer proporciona un mètode analític per trobar la inversa d'una matriu, i la condició de no singularitat també es pot explicar pels resultats. Segons la regla de Cramer A -1 =adj(A)/det(A) o adj(A)=A -1 det(A). Perquè aquest resultat sigui vàlid, det(A) ≠ 0, per tant, les matrius són invertibles si i només si es compleix la condició anterior.
Quina diferència hi ha entre les matrius adjunts i les inverses?
• L'adjugat o adjunt d'una matriu és la transposició de la matriu de cofactors, mentre que la matriu inversa és una matriu que dóna la matriu d'identitat quan es multiplica.
• La matriu adjugada es pot utilitzar per calcular la matriu inversa i és un dels mètodes habituals per trobar les inverses manualment.
• Per a cada matriu, existeix una matriu adjugada, però la inversa existeix si i només si el determinant és diferent de zero.
