Paral·lelogram vs Trapezi
El paral·lelogram i el trapezi (o trapezi) són dos quadrilàters convexos. Tot i que aquests són quadrangles, la geometria del trapezi difereix significativament de la dels paral·lelograms.
Paral·lelogram
El paral·lelogram es pot definir com la figura geomètrica de quatre costats, amb els costats oposats paral·lels entre si. Més precisament és un quadrilàter amb dos parells de costats paral·lels. Aquesta naturalesa paral·lela dóna moltes característiques geomètriques als paral·lelograms.
Un quadrilàter és un paral·lelogram si es troben les característiques geomètriques següents.
• Dos parells de costats oposats tenen la mateixa longitud. (AB=DC, AD=BC)
• Dos parells d'angles oposats tenen la mateixa mida. ([làtex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Si els angles adjacents són suplementaris [làtex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Un parell de costats, que s'oposen, són paral·lels i de longitud igual. (AB=DC i AB∥DC)
• Les diagonals es divideixen (AO=OC, BO=OD)
• Cada diagonal divideix el quadrilàter en dos triangles congruents. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
A més, la suma dels quadrats dels costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals. Això de vegades es coneix com la llei del paral·lelogram i té aplicacions generalitzades en física i enginyeria. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Cadascuna de les característiques anteriors es pot utilitzar com a propietat, un cop s'ha establert que el quadrilàter és un paral·lelogram.
L'àrea del paral·lelogram es pot calcular pel producte de la longitud d'un costat i l'alçada del costat oposat. Per tant, l'àrea del paral·lelogram es pot indicar com
Àrea del paral·lelogram=base × alçada=AB×h
L'àrea del paral·lelogram és independent de la forma del paral·lelogram individual. Només depèn de la longitud de la base i de l'alçada perpendicular.
Si els costats d'un paral·lelogram es poden representar amb dos vectors, l'àrea es pot obtenir per la magnitud del producte vectorial (producte creuat) dels dos vectors adjacents.
Si els costats AB i AD estan representats pels vectors ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) i ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respectivament, l'àrea del el paral·lelogram ve donat per [làtex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], on α és l'angle entre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] i [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
A continuació es mostren algunes propietats avançades del paral·lelogram;
• L'àrea d'un paral·lelogram és el doble de l'àrea d'un triangle creat per qualsevol de les seves diagonals.
• L'àrea del paral·lelogram es divideix per la meitat per qualsevol línia que passi pel punt mitjà.
• Qualsevol transformació afí no degenerada porta un paral·lelogram a un altre paral·lelogram
• Un paral·lelogram té una simetria rotacional d'ordre 2
• La suma de les distàncies des de qualsevol punt interior d'un paral·lelogram als costats és independent de la ubicació del punt
Trapezi
Trapezi (o Trapezi en anglès britànic) és un quadrilàter convex on almenys dos costats són paral·lels i desiguals de longitud. Els costats paral·lels del trapezi es coneixen com a bases i els altres dos costats s'anomenen cames.
A continuació es mostren les característiques principals dels trapezis;
• Si els angles adjacents no estan a la mateixa base del trapezi, són angles suplementaris. és a dir, sumen 180° ([làtex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/làtex])
• Les dues diagonals d'un trapezi es tallen amb la mateixa proporció (la relació entre la secció de les diagonals és igual).
• Si a i b són bases i c, d són cames, les longituds de les diagonals vénen donades per
[làtex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
i
[làtex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
L'àrea del trapezi es pot calcular mitjançant la fórmula següent
Àrea del trapezi=[làtex]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Quina diferència hi ha entre el paral·lelogram i el trapezi (trapezi)?
• Tant el paral·lelogram com el trapezi són quadrilàters convexos.
• En un paral·lelogram, els dos parells dels costats oposats són paral·lels, mentre que, en un trapezi, només un parell és paral·lel.
• Les diagonals del paral·lelogram es divideixen entre si (proporció 1:1) mentre que les diagonals del trapezi es tallen amb una proporció constant entre les seccions.
• L'àrea del paral·lelogram depèn de l'alçada i de la base, mentre que l'àrea del trapezi depèn de l'alçada i del segment mitjà.
• Els dos triangles formats per una diagonal en un paral·lelogram són sempre congruents mentre que els triangles del trapezi poden ser congruents o no.
