Paral·lelogram vs rectangle
El paral·lelogram i el rectangle són quadrilàters. La geometria d'aquestes figures era coneguda per l'home des de fa milers d'anys. El tema es tracta explícitament al llibre "Elements" escrit pel matemàtic grec Euclides.
Paral·lelogram
El paral·lelogram es pot definir com la figura geomètrica de quatre costats, amb els costats oposats paral·lels entre si. Més precisament és un quadrilàter amb dos parells de costats paral·lels. Aquesta naturalesa paral·lela dóna moltes característiques geomètriques als paral·lelograms.
Un quadrilàter és un paral·lelogram si es troben les característiques geomètriques següents.
• Dos parells de costats oposats tenen la mateixa longitud. (AB=DC, AD=BC)
• Dos parells d'angles oposats tenen la mateixa mida. ([làtex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Si els angles adjacents són suplementaris [làtex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Un parell de costats, que s'oposen, són paral·lels i de longitud igual. (AB=DC i AB∥DC)
• Les diagonals es divideixen (AO=OC, BO=OD)
• Cada diagonal divideix el quadrilàter en dos triangles congruents. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
A més, la suma dels quadrats dels costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals. Això de vegades es coneix com la llei del paral·lelogram i té aplicacions generalitzades en física i enginyeria. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Cadascuna de les característiques anteriors es pot utilitzar com a propietat, un cop s'ha establert que el quadrilàter és un paral·lelogram.
L'àrea del paral·lelogram es pot calcular pel producte de la longitud d'un costat i l'alçada del costat oposat. Per tant, l'àrea del paral·lelogram es pot indicar com
Àrea del paral·lelogram=base × alçada=AB×h
L'àrea del paral·lelogram és independent de la forma del paral·lelogram individual. Només depèn de la longitud de la base i de l'alçada perpendicular.
Si els costats d'un paral·lelogram es poden representar amb dos vectors, l'àrea es pot obtenir per la magnitud del producte vectorial (producte creuat) dels dos vectors adjacents.
Si els costats AB i AD estan representats pels vectors ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) i ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respectivament, l'àrea del el paral·lelogram ve donat per [làtex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], on α és l'angle entre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] i [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
A continuació es mostren algunes propietats avançades del paral·lelogram;
• L'àrea d'un paral·lelogram és el doble de l'àrea d'un triangle creat per qualsevol de les seves diagonals.
• L'àrea del paral·lelogram es divideix per la meitat per qualsevol línia que passi pel punt mitjà.
• Qualsevol transformació afí no degenerada porta un paral·lelogram a un altre paral·lelogram
• Un paral·lelogram té una simetria rotacional d'ordre 2
• La suma de les distàncies des de qualsevol punt interior d'un paral·lelogram als costats és independent de la ubicació del punt
Rectangle
Un quadrilàter amb quatre angles rectes es coneix com a rectangle. És un cas especial del paral·lelogram on els angles entre dos costats adjacents qualsevol són angles rectes.
A més de totes les propietats d'un paral·lelogram, es poden reconèixer característiques addicionals en considerar la geometria del rectangle.
• Cada angle als vèrtexs és un angle recte.
• Les diagonals tenen la mateixa longitud i es divideixen entre si. Per tant, les seccions biseccionades també tenen la mateixa longitud.
• La longitud de les diagonals es pot calcular mitjançant el teorema de Pitàgores:
PQ2 + PS2 =SQ2
• La fórmula de l'àrea es redueix al producte de la longitud i l'amplada.
Àrea del rectangle=longitud × amplada
• Es troben moltes propietats simètriques en un rectangle, com ara;
– Un rectangle és cíclic, on tots els vèrtexs es poden col·locar al perímetre d'un cercle.
– És equiangular, on tots els angles són iguals.
– És isogonal, on totes les cantonades es troben dins de la mateixa òrbita de simetria.
– Té simetria reflexiva i simetria rotacional.
Quina diferència hi ha entre paral·lelogram i rectangle?
• El paral·lelogram i el rectangle són quadrilàters. El rectangle és un cas especial dels paral·lelograms.
• L'àrea de qualsevol es pot calcular mitjançant la fórmula base × altura.
• Tenint en compte les diagonals;
– Les diagonals del paral·lelogram es divideixen en dues parts i el paral·lelogram per formar dos triangles congruents.
– Les diagonals del rectangle tenen la mateixa longitud i es divideixen entre si; les seccions biseccionades tenen la mateixa longitud. Les diagonals divideixen el rectangle en dos triangles rectangles congruents.
• Tenint en compte els angles interns;
– Els angles interns oposats del paral·lelogram tenen la mateixa mida. Dos angles interns adjacents són suplementaris
– Els quatre angles interns del rectangle són angles rectes.
• Tenint en compte els costats;
– En un paral·lelogram, la suma dels quadrats dels costats és igual a la suma dels quadrats de la diagonal (llei del paral·lelogram)
– En els rectangles, la suma dels quadrats dels dos costats adjacents és igual al quadrat de la diagonal dels extrems. (Regla de Pitàgores)
