Paral·lelogram vs quadrilàter
Quadrilàters i paral·lelograms són polígons que es troben a la geometria euclidiana. El paral·lelogram és un cas especial del quadrilàter. Els quadrilàters poden ser plans (2D) o tridimensionals, mentre que els paral·lelograms són sempre plans.
Quadrilàter
Quadrilàter és un polígon de quatre costats. Té quatre vèrtexs i la suma dels angles interns és 3600 (2π rad). Els quadrilàters es classifiquen en categories de quadrilàters simples i autointersecants. Els quadrilàters que s'interseccionen tenen dos o més costats que es creuen i figures geomètriques més petites (com ara triangles es formen dins del quadrilàter).
Els quadrilàters simples també es divideixen en quadrilàters convexos i còncaus. Els quadrilàters còncaus tenen costats adjacents que formen angles reflex a l'interior de la figura. Els quadrilàters simples que no tenen angles reflexos internament són quadrilàters convexos. Els quadrilàters convexos sempre poden tenir tessel·lacions.
Una part important de la geometria dels quadrilàters als nivells inicials es refereix als quadrilàters convexos. Alguns quadrilàters ens són molt familiars des de l'època de les escoles primàries. A continuació es mostra un diagrama que mostra diferents quadrilàters convexos.
Paral·lelogram
El paral·lelogram es pot definir com la figura geomètrica de quatre costats, amb els costats oposats paral·lels entre si. Més precisament és un quadrilàter amb dos parells de costats paral·lels. Aquesta naturalesa paral·lela dóna moltes característiques geomètriques als paral·lelograms.
Un quadrilàter és un paral·lelogram si es troben les característiques geomètriques següents.
• Dos parells de costats oposats tenen la mateixa longitud. (AB=DC, AD=BC)
• Dos parells d'angles oposats tenen la mateixa mida. ([làtex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Si els angles adjacents són suplementaris [làtex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Un parell de costats, que s'oposen, són paral·lels i de longitud igual. (AB=DC i AB∥DC)
• Les diagonals es divideixen (AO=OC, BO=OD)
• Cada diagonal divideix el quadrilàter en dos triangles congruents. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
A més, la suma dels quadrats dels costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals. Això de vegades es coneix com la llei del paral·lelogram i té aplicacions generalitzades en física i enginyeria. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Cadascuna de les característiques anteriors es pot utilitzar com a propietat, un cop s'ha establert que el quadrilàter és un paral·lelogram.
L'àrea del paral·lelogram es pot calcular pel producte de la longitud d'un costat i l'alçada del costat oposat. Per tant, l'àrea del paral·lelogram es pot indicar com
Àrea del paral·lelogram=base × alçada=AB×h
L'àrea del paral·lelogram és independent de la forma del paral·lelogram individual. Només depèn de la longitud de la base i de l'alçada perpendicular.
Si els costats d'un paral·lelogram es poden representar amb dos vectors, l'àrea es pot obtenir per la magnitud del producte vectorial (producte creuat) dels dos vectors adjacents.
Si els costats AB i AD estan representats pels vectors ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) i ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respectivament, l'àrea del el paral·lelogram ve donat per [làtex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], on α és l'angle entre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] i [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
A continuació es mostren algunes propietats avançades del paral·lelogram;
• L'àrea d'un paral·lelogram és el doble de l'àrea d'un triangle creat per qualsevol de les seves diagonals.
• L'àrea del paral·lelogram es divideix per la meitat per qualsevol línia que passi pel punt mitjà.
• Qualsevol transformació afí no degenerada porta un paral·lelogram a un altre paral·lelogram
• Un paral·lelogram té una simetria rotacional d'ordre 2
• La suma de les distàncies des de qualsevol punt interior d'un paral·lelogram als costats és independent de la ubicació del punt
Quina diferència hi ha entre el paral·lelogram i el quadrilàter?
• Els quadrilàters són polígons amb quatre costats (de vegades anomenats tetràgons), mentre que el paral·lelogram és un tipus especial de quadrilàters.
• Els quadrilàters poden tenir els seus costats en plans diferents (en l'espai 3D), mentre que tots els costats del paral·lelogram es troben en el mateix pla (planar/bidimensional).
• Els angles interiors del quadrilàter poden prendre qualsevol valor (inclosos els angles reflexos) de manera que sumen 3600. Els paral·lelograms només poden tenir angles obtusos com a tipus màxim d'angle.
• Els quatre costats del quadrilàter poden tenir longituds diferents, mentre que els costats oposats del paral·lelogram són sempre paral·lels entre si i de la mateixa longitud.
• Qualsevol diagonal divideix el paral·lelogram en dos triangles congruents, mentre que els triangles formats per la diagonal d'un quadrilàter general no són necessàriament congruents.
