Sèrie Fourier vs Transformada de Fourier
La sèrie de Fourier descompon una funció periòdica en una suma de sinus i coseus amb diferents freqüències i amplituds. La sèrie de Fourier és una branca de l'anàlisi de Fourier i va ser introduïda per Joseph Fourier. La transformada de Fourier és una operació matemàtica que trenca un senyal a les seves freqüències constitutives. El senyal original que va canviar amb el temps s'anomena representació del senyal en el domini del temps. La transformada de Fourier s'anomena representació en el domini freqüencial d'un senyal ja que depèn de la freqüència. Tant la representació d'un senyal en el domini de la freqüència com el procés utilitzat per transformar aquest senyal en el domini de la freqüència s'anomenen transformada de Fourier.
Què és la sèrie Fourier?
Com s'ha esmentat anteriorment, la sèrie de Fourier és una expansió d'una funció periòdica que utilitza una suma infinita de sinus i coseus. Les sèries de Fourier es van desenvolupar inicialment per resoldre equacions de calor, però més tard es va descobrir que la mateixa tècnica es pot utilitzar per resoldre un gran conjunt de problemes matemàtics, especialment els problemes que impliquen equacions diferencials lineals amb coeficients constants. Ara, la sèrie Fourier té aplicacions en un gran nombre de camps, com ara l'enginyeria elèctrica, l'anàlisi de vibracions, l'acústica, l'òptica, el processament del senyal, el processament d'imatges, la mecànica quàntica i l'econometria. Les sèries de Fourier utilitzen les relacions d'ortogonalitat de les funcions sinus i cosinus. El càlcul i l'estudi de les sèries de Fourier es coneix com a anàlisi harmònica i és molt útil quan es treballa amb funcions periòdiques arbitràries, ja que permet dividir la funció en termes simples que es poden utilitzar per obtenir una solució al problema original.
Què és la transformada de Fourier?
La transformada de Fourier defineix una relació entre un senyal en el domini del temps i la seva representació en el domini de la freqüència. La transformada de Fourier descompon una funció en funcions oscil·latòries. Com que es tracta d'una transformació, el senyal original es pot obtenir coneixent la transformació, per tant no es crea ni es perd informació en el procés. L'estudi de les sèries de Fourier en realitat proporciona motivació per a la transformada de Fourier. A causa de les propietats dels sinus i cosinus, és possible recuperar la quantitat de cada ona que contribueix a la suma mitjançant una integral. La transformada de Fourier té algunes propietats bàsiques com ara la linealitat, la translació, la modulació, l'escala, la conjugació, la dualitat i la convolució. La transformada de Fourier s'aplica per resoldre equacions diferencials ja que la transformada de Fourier està estretament relacionada amb la transformació de Laplace. La transformada de Fourier també s'utilitza en la ressonància magnètica nuclear (RMN) i en altres tipus d'espectroscòpia.
Diferència entre la sèrie de Fourier i la transformada de Fourier
La sèrie de Fourier és una expansió del senyal periòdic com una combinació lineal de sinus i coseus, mentre que la transformada de Fourier és el procés o funció que s'utilitza per convertir senyals del domini del temps al domini de la freqüència. La sèrie de Fourier es defineix per a senyals periòdics i la transformada de Fourier es pot aplicar a senyals aperiòdics (que ocorren sense periodicitat). Com s'ha esmentat anteriorment, l'estudi de les sèries de Fourier en realitat proporciona motivació per a la transformada de Fourier.
