Equació lineal vs equació quadràtica
En matemàtiques, les equacions algebraiques són equacions que es formen amb polinomis. Quan s'escriuen explícitament les equacions tindran la forma P(x)=0, on x és un vector de n variables desconegudes i P és un polinomi. Per exemple, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 és una equació algebraica de dues variables escrites explícitament. A més, (x+y)3=3x2y – 3zy4 és una equació algebraica, però en forma implícita. Tindrà la forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, un cop escrit explícitament.
Una característica important d'una equació algebraica és el seu grau. Es defineix com la potència més alta dels termes que apareixen a l'equació. Si un terme consta de dues o més variables, la suma dels exponents de cada variable es considerarà la potència del terme. Observeu que segons aquesta definició P(x, y)=0 és de grau 4 mentre que Q(x, y, z)=0 és de grau 5.
Les equacions lineals i les equacions de segon grau són dos tipus diferents d'equacions algebraiques. El grau de l'equació és el factor que les diferencia de la resta d'equacions algebraiques.
Què és una equació lineal?
Una equació lineal és una equació algebraica de grau 1. Per exemple, 4x + 5=0 és una equació lineal d'una variable. x + y + 5z=0 i 4x=3w + 5y + 7z són equacions lineals de 3 i 4 variables respectivament. En general, una equació lineal de n variables tindrà la forma m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Aquí, xi són les variables desconegudes, mi i b són nombres reals on cadascun dels mi és diferent de zero.
Aquesta equació representa un hiperpla a l'espai euclidià n-dimensional. En particular, una equació lineal de dues variables representa una línia recta en el pla cartesià i una equació lineal de tres variables representa un pla a l'espai 3 euclidià.
Què és una equació de segon grau?
Una equació de segon grau és una equació algebraica de segon grau. x2 + 3x + 2=0 és una equació quadràtica de variable única. x2 + y2 + 3x=4 i 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 són exemples d'equacions quadràtiques de 2 i 3 variables respectivament.
En el cas de variable única, la forma general d'una equació quadràtica és ax2 + bx + c=0. On a, b, c són nombres reals dels quals 'a' és diferent de zero. El discriminant ∆=(b2 – 4ac) determina la naturalesa de les arrels de l'equació quadràtica. Les arrels de l'equació seran reals diferents, reals similars i complexes segons que ∆ sigui positiu, zero i negatiu. Les arrels de l'equació es poden trobar fàcilment mitjançant la fórmula x=(- b ± √∆) / 2a.
En el cas de dues variables, la forma general seria ax2 + per2 + cxy + dx + ex + f=0, i això representa una cònica (paràbola, hipèrbola o el·lipse) en el pla cartesià. En dimensions superiors, aquest tipus d'equacions representen hipersuperfícies conegudes com a quàdriques.
Quina diferència hi ha entre les equacions lineals i quadràtiques?
• Una equació lineal és una equació algebraica de grau 1, mentre que una equació de segon grau és una equació algebraica de grau 2.
• A l'espai euclidià n-dimensional, l'espai de solució d'una equació lineal n-variable és un hiperpla mentre que el d'una equació quadràtica n-variable és una superfície quàdrica.
