Equació lineal vs equació no lineal
En matemàtiques, les equacions algebraiques són equacions, que es formen mitjançant polinomis. Quan s'escriuen explícitament les equacions tindran la forma P(x)=0, on x és un vector de n variables desconegudes i P és un polinomi. Per exemple, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 és una equació algebraica en dues variables escrites explícitament. A més, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 és una equació algebraica, però en forma implícita i prendrà la forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, un cop escrit explícitament.
Una característica important d'una equació algebraica és el seu grau. Es defineix com la potència més alta dels termes que apareixen a l'equació. Si un terme consta de dues o més variables, la suma dels exponents de cada variable es considerarà la potència del terme. Observeu que segons aquesta definició P(x, y)=0 és de grau 5, mentre que Q(x, y, z)=0 és de grau 5.
Les equacions lineals i les equacions no lineals són dues particions definides en el conjunt d'equacions algebraiques. El grau de l'equació és el factor que els diferencia entre ells.
Què és una equació lineal?
Una equació lineal és una equació algebraica de grau 1. Per exemple, 4x + 5=0 és una equació lineal d'una variable. x + y + 5z=0 i 4x=3w + 5y + 7z són equacions lineals de 3 i 4 variables respectivament. En general, una equació lineal de n variables tindrà la forma m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Aquí, xi són les variables desconegudes, mi i b són nombres reals on cadascun dels mi és diferent de zero.
Aquesta equació representa un hiperpla a l'espai euclidià n-dimensional. En particular, una equació lineal de dues variables representa una línia recta en el pla cartesià i una equació lineal de tres variables representa un pla a l'espai 3 euclidià.
Què és una equació no lineal?
Una equació quadràtica és una equació algebraica, que no és lineal. En altres paraules, una equació no lineal és una equació algebraica de grau 2 o superior. x2 + 3x + 2=0 és una equació no lineal de variable única. x2 + y3+ 3xy=4 i 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 són exemples d'equacions no lineals de 3 i 4 variables respectivament.
Una equació no lineal de segon grau s'anomena equació de segon grau. Si el grau és 3, s'anomena equació cúbica. Les equacions de grau 4 i de grau 5 s'anomenen equacions quàrtiques i quàntiques respectivament. S'ha demostrat que no existeix un mètode analític per resoldre cap equació no lineal de grau 5, i això també és cert per a qualsevol grau superior. Les equacions no lineals resolubles representen hipersuperfícies que no són hiperplans.
Quina diferència hi ha entre l'equació lineal i l'equació no lineal?
• Una equació lineal és una equació algebraica de grau 1, però una equació no lineal és una equació algebraica de grau 2 o superior.
• Tot i que qualsevol equació lineal és analíticament resoluble, no és el cas de les equacions no lineals.
• A l'espai euclidià n-dimensional, l'espai de solució d'una equació lineal n-variable és un hiperpla, mentre que el d'una equació no lineal n-variable és una hipersuperfície, que no és un hiperpla. (Quàdrics, superfícies cúbiques, etc.)
