Diferència entre Power Series i Taylor Series

2024 Autora: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 13:34

Sèrie Power vs Sèrie Taylor

En matemàtiques, una seqüència real és una llista ordenada de nombres reals. Formalment, és una funció del conjunt de nombres naturals al conjunt de nombres reals. Si a_n és el n^th terme d'una seqüència, denotem la seqüència amb o amb un ₁, a ₂, …, a_n, …. Per exemple, considereu la seqüència 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Es pot indicar com a {1/n}.}

És possible definir una sèrie mitjançant seqüències. Una sèrie és la suma dels termes d'una successió. Per tant, per a cada seqüència hi ha una seqüència associada i viceversa. Si {a_{n} és la seqüència considerada, aleshores, la sèrie formada per aquesta seqüència es pot representar com:}

Així, a l'exemple anterior, la sèrie associada és 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Com suggereixen els noms, la sèrie de potències és un tipus especial de sèrie i s'utilitza àmpliament en l'anàlisi numèrica i el modelatge matemàtic relacionat. La sèrie de Taylor és una sèrie de potències especial que ofereix una manera alternativa i fàcil de manipular de representar funcions conegudes.

Què és la sèrie Power?

Una sèrie de potències és una sèrie de la forma

que és convergent (possiblement) per a algun interval centrat a c. Els coeficients a_{npoden ser nombres reals o complexos, i són independents de x; és a dir, la variable simulada.}

Per exemple, establint a_n=1 per a cada n i c=0, la sèrie de potències 1+x+x² +…..+ x^{+… s'obté. És fàcil observar que quan x ε (-1, 1), aquesta sèrie de potències convergeix a 1/(1-x).}

Una sèrie de potències convergeix quan x=c. Els altres valors de x per als quals convergeix la sèrie de potències tindran sempre la forma d'un interval obert centrat en c. És a dir, hi haurà un valor 0≤ R ≤ ∞ tal que per a cada x que compleixi |x-c|≤ R, la sèrie de potències sigui convergent i per a cada x que compleixi |x-c|> R, la sèrie de potències sigui divergent. Aquest valor R s'anomena radi de convergència de la sèrie de potències (R pot prendre qualsevol valor real o infinit positiu).

Les sèries de potència es poden sumar, restar, multiplicar i dividir utilitzant les regles següents. Considereu les dues sèries de potències:

Aleshores,

és a dir termes semblants s'afegeixen o resten junts. A més, és possible multiplicar i dividir les dues sèries de potències utilitzant la identitat,

Què és la sèrie Taylor?

La sèrie de Taylor es defineix per a una funció f (x) que és infinitament derivable en un interval. Suposem que f (x) és diferenciable en un interval centrat en c. A continuació, la sèrie de potències que ve donada per

s'anomena l'expansió en sèrie de Taylor de la funció f (x) sobre c. (Aquí f⁽ⁿ⁾ (c) denota la n^{è derivada a x=c). En l'anàlisi numèrica, s'utilitzen un nombre finit de termes en aquesta expansió infinita per calcular valors en els punts on la sèrie és convergent a la funció original.}

Es diu que una funció f (x) és analítica en l'interval (a, b), si per a cada x ε (a, b), la sèrie de Taylor de f (x) convergeix a la funció f (x). Per exemple, 1/(1-x) és analític a (-1, 1), ja que la seva expansió de Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… convergeix a la funció d'aquest interval, i e}x ^{és analític a tot arreu, ja que la sèrie de Taylor de e}x ^{convergeix a e} x ^{per a cada nombre real x.}

Quina diferència hi ha entre la sèrie Power i la sèrie Taylor?

1. La sèrie de Taylor és una classe especial de sèries de potències definides només per a funcions que són infinitament derivables en algun interval obert.

2. Les sèries de Taylor prenen la forma especial

mentre que, una sèrie de potències pot ser qualsevol sèrie de la forma