Equació diferencial vs equació diferencial
Un fenomen natural es pot descriure matemàticament mitjançant funcions d'una sèrie de variables i paràmetres independents. Sobretot quan s'expressen en funció de la posició espacial i el temps, es produeixen equacions. La funció pot canviar amb el canvi de les variables independents o dels paràmetres. Un canvi infinitesimal que es produeix a la funció quan es canvia una de les seves variables s'anomena derivada d'aquesta funció.
Una equació diferencial és qualsevol equació que contingui derivades d'una funció així com la funció en si. Una equació diferencial simple és la de la segona llei del moviment de Newton. Si un objecte de massa m es mou amb l'acceleració 'a' i s'actua sobre ell amb una força F, la segona llei de Newton ens diu que F=ma. Aquí de nou, 'a' varia amb el temps, podem reescriure 'a' com; a=dv/dt; v és la velocitat. La velocitat és funció de l'espai i del temps, és a dir, v=ds/dt; per tant, ‘a’=d2s/dt2
Tenint això en compte, podem reescriure la segona llei de Newton com una equació diferencial;
‘F’ en funció de v i t – F(v, t)=mdv/dt, o
'F' en funció de s i t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Hi ha dos tipus d'equacions diferencials; equació diferencial ordinària, abreujada per ODE o equació diferencial parcial, abreujada per PDE. L'equació diferencial ordinària tindrà derivades ordinàries (derivades d'una sola variable). L'equació en derivades parcials tindrà derivades diferencials (derivades de més d'una variable).
p. ex. F=m d2s/dt2 és una ODE, mentre que α2 d 2u/dx2=du/dt és una PDE, té derivades de t i x.
L'equació de diferència és la mateixa que l'equació diferencial, però la mirem en un context diferent. En les equacions diferencials, la variable independent com el temps es considera en el context del sistema de temps continu. En el sistema de temps discret, anomenem la funció com a equació de diferència.
L'equació de la diferència és una funció de les diferències. Les diferències en les variables independents són de tres tipus; seqüència de nombres, sistema dinàmic discret i funció iterada.
En la seqüència de números, el canvi es genera recursivament utilitzant una regla per relacionar cada nombre de la seqüència amb els números anteriors de la seqüència.
L'equació de diferència en un sistema dinàmic discret pren un senyal d'entrada discret i produeix un senyal de sortida.
L'equació de diferència és un mapa iterat per a una funció iterada. Per exemple, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….és la seqüència d'una funció iterada. La f(y0) és la primera iteració de y0 La k-è iteració es denotarà amb fk (y0).
