Integrals definides i indefinides
El càlcul és una branca important de les matemàtiques i la diferenciació té un paper fonamental en el càlcul. El procés invers de la diferenciació es coneix com a integració, i la inversa es coneix com a integral, o simplement, la inversa de la diferenciació dóna una integral. En funció dels resultats que produeixen, les integrals es divideixen en dues classes; integrals definides i indefinides.
Més sobre les integrals indefinides
La integral indefinida és més una forma general d'integració, i es pot interpretar com l'antiderivada de la funció considerada. Suposem que la diferenciació de F dóna f, i la integració de f dóna la integral. Sovint s'escriu com F(x)=∫ƒ(x)dx o F=∫ƒ dx on F i ƒ són funcions de x, i F és derivable. En la forma anterior, s'anomena integral de Reimann i la funció resultant acompanya una constant arbitrària. Una integral indefinida sovint produeix una família de funcions; per tant, la integral és indefinida.
Els processos integrals i d'integració són el nucli de la resolució d'equacions diferencials. Tanmateix, a diferència de la diferenciació, la integració no segueix sempre una rutina clara i estàndard; de vegades, la solució no es pot expressar explícitament en termes de funció elemental. En aquest cas, la solució analítica sovint es dóna en forma d'una integral indefinida.
Més sobre les integrals definides
Les integrals definides són les contraparts molt valorades de les integrals indefinides on el procés d'integració produeix realment un nombre finit. Es pot definir gràficament com l'àrea limitada per la corba de la funció ƒ dins d'un interval donat. Sempre que la integració es realitza dins d'un interval determinat de la variable independent, la integració produeix un valor definit que sovint s'escriu com a a∫bƒ(x) dx o a∫b ƒdx.
Les integrals indefinides i les integrals definides estan interconnectades mitjançant el primer teorema fonamental del càlcul, i això permet calcular la integral definida utilitzant les integrals indefinides. El teorema diu a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) on F i ƒ són funcions de x, i F és diferenciable en l'interval (a, b). Tenint en compte l'interval, a i b es coneixen com a límit inferior i límit superior respectivament.
En lloc d'aturar-se només amb funcions reals, la integració es pot estendre a funcions complexes i aquestes integrals s'anomenen integrals de contorn, on ƒ és una funció de la variable complexa.
Quina diferència hi ha entre integrals definides i indefinides?
Les integrals indefinides representen l'antiderivada d'una funció, i sovint, una família de funcions en lloc d'una solució definida. En integrals definides, la integració dóna un nombre finit.
Les integrals indefinides associen una variable arbitrària (d'aquí la família de funcions) i les integrals definides no tenen una constant arbitrària, sinó un límit superior i un límit inferior d'integració.
La integral indefinida sol donar una solució general a l'equació diferencial.
