Hipèrbola contra el·lipse
Quan es talla un con amb diferents angles, la vora del con marca diferents corbes. Aquestes corbes sovint s'anomenen seccions còniques. Més precisament, una secció cònica és una corba obtinguda intersecant una superfície cònica circular recta amb una superfície plana. A diferents angles d'intersecció, es donen diferents seccions còniques.
Tant la hipèrbola com l'el·lipse són seccions còniques i les seves diferències es poden comparar fàcilment en aquest context.
Més sobre Ellipse
Quan la intersecció de la superfície cònica i la superfície plana produeix una corba tancada, es coneix com a el·lipse. Té una excentricitat entre zero i un (0<e<1). També es pot definir com el lloc geogràfic del conjunt de punts d'un pla de manera que la suma de les distàncies al punt des de dos punts fixos es mantingui constant. Aquests dos punts fixos es coneixen com a "focus". (Recordeu: a les classes de matemàtiques de primària les el·lipses es dibuixen amb una corda lligada a dos agulles fixes, o un bucle de corda i dos agulles.)
El segment de línia que passa pels focus es coneix com a eix major, i l'eix perpendicular a l'eix major i que passa pel centre de l'el·lipse es coneix com a eix menor. Els diàmetres al llarg de cada eix es coneixen com a diàmetre transversal i diàmetre conjugat respectivament. La meitat de l'eix principal es coneix com a semieix major i la meitat de l'eix menor es coneix com a semieix menor.
Cada punt F1 i F2 es coneixen com els focus de l'el·lipse i les longituds F1 + PF2 =2a, on P és un punt arbitrari de l'el·lipse. L'excentricitat e es defineix com la relació entre la distància d'un focus al punt arbitrari (PF 2) i la distància perpendicular al punt arbitrari des de la directriu (PD). També és igual a la distància entre els dos focus i el semieix major: e=PF/PD=f/a
L'equació general de l'el·lipse, quan el semieix major i el semieix menor coincideixen amb els eixos cartesians, es dóna de la següent manera.
x2/a2 + y2/b2=1
La geometria de l'el·lipse té moltes aplicacions, sobretot en física. Les òrbites dels planetes del sistema solar són el·líptiques amb el sol com a focus. Els reflectors per a antenes i dispositius acústics estan fets en forma el·líptica per aprofitar el fet que qualsevol emissió d'un focus convergirà cap a l' altre focus.
Més sobre Hyperbola
La hipèrbola també és una secció cònica, però és oberta. El terme hipèrbola fa referència a les dues corbes desconnectades que es mostren a la figura. En lloc de tancar com una el·lipse, els braços o les branques de la hipèrbola continuen fins a l'infinit.
Els punts on les dues branques tenen la distància més curta entre elles es coneixen com a vèrtexs. La línia que passa pels vèrtexs es considera com l'eix major o l'eix transversal, i és un dels eixos principals de la hipèrbola. Els dos focus de la paràbola també es troben a l'eix major. El punt mitjà de la línia entre els dos vèrtexs és el centre i la longitud del segment de línia és el semieix major. La mediatriu del semieix major és l' altre eix principal, i les dues corbes de la hipèrbola són simètriques al voltant d'aquest eix. L'excentricitat de la paràbola és més gran que un; e > 1.
Si els eixos principals coincideixen amb els eixos cartesians, l'equació general de la hipèrbola és de la forma:
x2/a2 – y2/b2=1,
on a és el semieix major i b és la distància des del centre fins a qualsevol dels focus.
Les hipèrboles amb extrems oberts mirant a l'eix x es coneixen com a hipèrboles est-oest. També es poden obtenir hipèrboles similars a l'eix y. Aquestes es coneixen com a hipèrboles de l'eix y. L'equació d'aquestes hipèrboles pren la forma
y2/a2 – x2/b2=1
Quina diferència hi ha entre la hipèrbola i l'el·lipse?
• Tant les el·lipses com la hipèrbola són seccions còniques, però l'el·lipse és una corba tancada mentre que la hipèrbola consta de dues corbes obertes.
• Per tant, l'el·lipse té un perímetre finit, però la hipèrbola té una longitud infinita.
• Tots dos són simètrics al voltant del seu eix major i menor, però la posició de la directora és diferent en cada cas. A l'el·lipse, es troba fora del semieix major mentre que, a la hipèrbola, es troba al semieix major.
• Les excentricitats de les dues seccions còniques són diferents.
0 <eEl·lipse < 1
eHipèrbola > 0
• L'equació general de les dues corbes sembla igual, però són diferents.
• La bisectriu perpendicular de l'eix major talla la corba a l'el·lipse, però no a la hipèrbola.
(Font de les imatges: Wikipedia)
