Paràbola contra hipèrbola
Kepler va descriure les òrbites dels planetes com a el·lipses que posteriorment van ser modificades per Newton, ja que va mostrar que aquestes òrbites eren seccions còniques especials com la paràbola i la hipèrbola. Hi ha moltes similituds entre una paràbola i una hipèrbola, però també hi ha diferències, ja que hi ha diferents equacions per resoldre problemes geomètrics que impliquen aquestes seccions còniques. Per entendre millor les diferències entre una paràbola i una hipèrbola, hem d'entendre aquestes seccions còniques.
Una secció és una superfície o el contorn d'aquesta superfície formada tallant una figura sòlida amb un pla. Si la figura sòlida passa a ser un con, la corba resultant s'anomena secció cònica. El tipus i la forma de la secció cònica estan determinats per l'angle d'intersecció del pla i l'eix del con. Quan el con es talla en angle recte amb l'eix, obtenim una forma circular. Quan es talla amb menys d'un angle recte però més que l'angle format pel costat del con, es produeix una el·lipse. Quan es talla paral·lel al costat del con, la corba obtinguda és una paràbola i quan es talla gairebé paral·lel a l'eix que està al costat, obtenim una corba coneguda com a hipèrbola. Com podeu veure a les figures, els cercles i les el·lipses són corbes tancades mentre que les paràboles i les hipèrboles són corbes obertes. En el cas d'una paràbola, els dos braços es tornen paral·lels entre si, mentre que en el cas d'una hipèrbola no és així.
Com que els cercles i les paràboles es formen tallant un con en angles específics, tots els cercles tenen la mateixa forma i totes les paràboles tenen la mateixa forma. En el cas de les hipèrboles i les el·lipses hi ha un ampli ventall d'angles entre el pla i l'eix per això acostumen a tenir una gran varietat de formes. Les equacions dels quatre tipus de seccions còniques són les següents.
Cercle-x2+y2=1
El·lipse- x2/a2+ y2/b2=1
Parabola- y2=4ax
Hipèrbola- x2/a2– y2/b2=1
