Diferència entre la seqüència aritmètica i la seqüència geomètrica

2024 Autora: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificació: 2024-01-17 23:26

Seqüència aritmètica versus seqüència geomètrica

L'estudi dels patrons de nombres i el seu comportament és un estudi important en el camp de les matemàtiques. Sovint aquests patrons es poden veure a la natura i ens ajuden a explicar el seu comportament des d'un punt de vista científic. Les seqüències aritmètiques i les seqüències geomètriques són dos dels patrons bàsics que apareixen en els nombres i que sovint es troben en fenòmens naturals.

La seqüència és un conjunt de números ordenats. El nombre d'elements de la seqüència pot ser finit o infinit.

Més informació sobre la seqüència aritmètica (progressió aritmètica)

Una seqüència aritmètica es defineix com una seqüència de nombres amb una diferència constant entre cada terme consecutiu. També es coneix com a progressió aritmètica.

Seqüència aritmètica ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; on a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, i així successivament.}

Si el terme inicial és a₁ i la diferència comuna és d, aleshores el terme n^{th de la seqüència ve donat per;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Amb el resultat anterior, el n^{è terme també es pot donar com a;}

a_n =a_m + (n-m)d, on a_{m és un terme aleatori en la seqüència tal que n > m.}

El conjunt de nombres parells i el conjunt de nombres senars són els exemples més senzills de successions aritmètiques, on cada seqüència té una diferència comuna (d) de 2.

El nombre de termes d'una seqüència pot ser infinit o finit. En el cas infinit (n → ∞), la seqüència tendeix a l'infinit en funció de la diferència comuna (a_{n → ±∞). Si la diferència comuna és positiva (d > 0), la seqüència tendeix a l'infinit positiu i, si la diferència comuna és negativa (d < 0), tendeix a l'infinit negatiu. Si els termes són finits, la seqüència també és finita.}

La suma dels termes de la seqüència aritmètica es coneix com a sèrie aritmètica: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{i S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] dóna el valor de la sèrie (S}n)

Més informació sobre la seqüència geomètrica (progressió geomètrica)

Una seqüència geomètrica es defineix com una seqüència en què el quocient de dos termes consecutius qualsevol és una constant. Això també es coneix com a progressió geomètrica.

Seqüència geomètrica ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; on a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, i així successivament, on r és un nombre real.}

És més fàcil representar la seqüència geomètrica utilitzant la raó comuna (r) i el terme inicial (a). D'aquí la seqüència geomètrica ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

La forma general dels n^th termes donats per a_n =a₁r ^n-1. (Perdre el subíndex del terme inicial ⇒ a_n =ar^n-1)

La seqüència geomètrica també pot ser finita o infinita. Si el nombre de termes és finit, es diu que la successió és finita. I si els termes són infinits, la seqüència pot ser infinita o finita depenent de la proporció r. La proporció comuna afecta moltes de les propietats de les seqüències geomètriques.

r > o	0 < r < +1	La seqüència convergeix – decadència exponencial, és a dir, an → 0, n → ∞
	r=1	Seqüència constant, és a dir, an=constant
	r > 1	La seqüència divergeix: creixement exponencial, és a dir, an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	La seqüència és oscil·lant, però convergeix
	r=1	La seqüència és alterna i constant, és a dir, an=±constant
	r < -1	La seqüència és alterna i divergent. és a dir, an → ±∞, n → ∞
r=0	La seqüència és una cadena de zeros

N. B: en tots els casos anteriors, a₁ > 0; si a₁ < 0, els signes relacionats amb a_{n s'invertiran.}

L'interval de temps entre els rebots d'una pilota segueix una seqüència geomètrica en el model ideal, i és una seqüència convergent.

La suma dels termes de la successió geomètrica es coneix com a sèrie geomètrica; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. La suma de la sèrie geomètrica es pot calcular mitjançant la fórmula següent.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); on a és el terme inicial i r és la relació.}

Si la relació, r ≤ 1, la sèrie convergeix. Per a una sèrie infinita, el valor de la convergència ve donat per S_n=a/(1-r)

Quina diferència hi ha entre la seqüència/progressió aritmètica i geomètrica?

• En una seqüència aritmètica, dos termes consecutius qualsevol tenen una diferència comuna (d), mentre que, en una seqüència geomètrica, dos termes consecutius qualsevol tenen un quocient constant (r).

• En una seqüència aritmètica, la variació dels termes és lineal, és a dir, es pot traçar una recta que passa per tots els punts. En una sèrie geomètrica, la variació és exponencial; ja sigui creixent o decaint segons la proporció comuna.

• Totes les successions aritmètiques infinites són divergents, mentre que les sèries geomètriques infinites poden ser divergents o convergents.

• La sèrie geomètrica pot mostrar oscil·lació si la relació r és negativa mentre que la sèrie aritmètica no mostra oscil·lació