Associatiu vs commutatiu
En el nostre dia a dia, hem d'utilitzar números sempre que necessitem mesurar alguna cosa. A la botiga de queviures, a la benzinera i fins i tot a la cuina, hem de sumar, restar i multiplicar dues o més quantitats. Des de la nostra pràctica, realitzem aquests càlculs sense esforç. Mai no ens adonem ni ens preguntem per què fem aquestes operacions d'aquesta manera en particular. O per què aquests càlculs no es poden fer d'una altra manera. La resposta s'amaga en la manera com es defineixen aquestes operacions al camp matemàtic de l'àlgebra.
A l'àlgebra, una operació que implica dues quantitats (com ara la suma) es defineix com una operació binària. Més precisament és una operació entre dos elements d'un conjunt i aquests elements s'anomenen "operand". Moltes operacions en matemàtiques, incloses les operacions aritmètiques esmentades anteriorment i les que es troben a la teoria de conjunts, àlgebra lineal i lògica matemàtica, es poden definir com a operacions binàries.
Hi ha un conjunt de regles de govern relacionades amb una operació binària específica. Les propietats associatives i commutatives són dues propietats fonamentals de les operacions binàries.
Més informació sobre la propietat commutativa
Suposem que es realitza alguna operació binària, denotada pel símbol ⊗, sobre els elements A i B. Si l'ordre dels operands no afecta el resultat de l'operació, es diu que l'operació és commutativa. és a dir, si A ⊗ B=B ⊗ A aleshores l'operació és commutativa.
Les operacions aritmètiques de suma i multiplicació són commutatives. L'ordre dels nombres sumats o multiplicats no afecta la resposta final:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Però en el cas de la divisió el canvi en l'ordre dóna el recíproc de l' altre, i en la resta el canvi dóna el negatiu de l' altre. Per tant, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 i 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 i 5 ÷ 4=1,25 [en aquest cas A, B ≠ 1 i 0]
De fet, es diu que la resta és anticomutativa; on A – B=– (B – A).
També, els connectius lògics, la conjunció, la disjunció, la implicació i l'equivalència, també són commutatius. Les funcions de veritat també són commutatives. Les operacions de conjunt unió i intersecció són commutatives. La suma i el producte escalar dels vectors també són commutatius.
Però la resta de vectors i el producte vectorial no són commutatius (el producte vectorial de dos vectors és anticomutatiu). La suma de la matriu és commutativa, però la multiplicació i la resta no són commutatives.(La multiplicació de dues matrius pot ser commutativa en casos especials, com ara la multiplicació d'una matriu amb la seva inversa o la matriu d'identitat; però definitivament les matrius no són commutatives si les matrius no són de la mateixa mida)
Més informació sobre la propietat associativa
Es diu que una operació binària és associativa si l'ordre d'execució no afecta el resultat quan hi ha dues o més ocurrències de l'operador. Considereu els elements A, B i C i l'operació binària ⊗. Es diu que l'operació ⊗ és associativa si
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
A partir de les funcions aritmètiques bàsiques, només la suma i la multiplicació són associatives.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
La resta i la divisió no són associatives;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 i (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Les connectives lògiques disjunció, conjunció i equivalència són associatives, com també les operacions de conjunts unió i intersecció. La matriu i l'addició vectorial són associatives. El producte escalar dels vectors és associatiu, però el producte vectorial no ho és. La multiplicació de matrius només és associativa en circumstàncies especials.
Quina diferència hi ha entre la propietat commutativa i la associativa?
• Tant la propietat associativa com la propietat commutativa són propietats especials de les operacions binàries, i algunes les compleixen i altres no.
• Aquestes propietats es poden veure en moltes formes d'operacions algebraiques i altres operacions binàries en matemàtiques, com la intersecció i la unió en la teoria de conjunts o els connectius lògics.
• La diferència entre commutativa i associativa és que la propietat commutativa estableix que l'ordre dels elements no modifica el resultat final mentre que la propietat associativa estableix que l'ordre en què es realitza l'operació no afecta la resposta final..
