Esdeveniments mútuament exclusius vs independents
La gent sovint confon el concepte d'esdeveniments mútuament exclusius amb esdeveniments independents. De fet, són dues coses diferents.
Siguin A i B dos esdeveniments qualsevol associat a un experiment aleatori E. P(A) s'anomena "Probabilitat d'A". De la mateixa manera, podem definir la probabilitat de B com P(B), la probabilitat de A o B com P(A∪B) i la probabilitat de A i B com P(A∩B). Aleshores, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
No obstant això, es diu que dos esdeveniments s'exclouen mútuament si l'ocurrència d'un esdeveniment no afecta l' altre. En altres paraules, no es poden produir simultàniament. Per tant, si dos esdeveniments A i B s'exclouen mútuament, llavors A∩B=∅ i, per tant, això implica P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Siguin A i B dos esdeveniments en un espai mostral S. La probabilitat condicional de A, donat que s'ha produït B, es denota per P(A | B) i es defineix com; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), sempre que P(B)>0. (en cas contrari, no està definit.)
Es diu que un esdeveniment A és independent d'un esdeveniment B, si la probabilitat que es produeixi A no està influenciada pel fet que B s'ha produït o no. En altres paraules, el resultat de l'esdeveniment B no té cap efecte sobre el resultat de l'esdeveniment A. Per tant, P(A | B)=P(A). De la mateixa manera, B és independent de A si P(B)=P(B | A). Per tant, podem concloure que si A i B són esdeveniments independents, aleshores P(A∩B)=P(A). P(B)
Suposem que s'enrotlla un cub numerat i es tira una moneda justa. Sigui A l'esdeveniment que l'obtenció d'un cap i B l'esdeveniment que arrossega un nombre parell. Aleshores podem concloure que els esdeveniments A i B són independents, perquè el resultat d'un no afecta el resultat de l' altre. Per tant, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Com que P(A∩B)≠0, A i B no es poden excloure mútuament.
Suposem que una urna conté 7 boles blanques i 8 boles negres. Definiu l'esdeveniment A com el dibuix d'un marbre blanc i l'esdeveniment B com el dibuix d'un marbre negre. Suposant que cada marbre es substituirà després d'anotar el seu color, aleshores P(A) i P(B) seran sempre els mateixos, no importa quantes vegades traguem de l'urna. Reemplaçar les boles vol dir que les probabilitats no canvien d'un sorteig a un altre, independentment del color que triem a l'últim sorteig. Per tant, l'esdeveniment A i B són independents.
No obstant això, si els marbres es van dibuixar sense reemplaçar, tot canvia. Sota aquesta hipòtesi, els esdeveniments A i B no són independents. Dibuixar un marbre blanc la primera vegada canvia les probabilitats de dibuixar un marbre negre al segon sorteig i així successivament. En altres paraules, cada sorteig té un efecte en el següent sorteig i, per tant, els sorteigs individuals no són independents.
Diferència entre esdeveniments mútuament exclusius i independents
– L'exclusivitat mútua dels esdeveniments significa que no hi ha cap superposició entre els conjunts A i B. La independència dels esdeveniments significa que el fet de A no afecta el de B.
– Si dos esdeveniments A i B s'exclouen mútuament, aleshores P(A∩B)=0.
– Si dos esdeveniments A i B són independents, aleshores P(A∩B)=P(A). P(B)
