Ortogonal vs ortonormal
En matemàtiques, les dues paraules ortogonal i ortonormal s'utilitzen amb freqüència juntament amb un conjunt de vectors. Aquí, el terme "vector" s'utilitza en el sentit que és un element d'un espai vectorial: una estructura algebraica utilitzada en àlgebra lineal. Per a la nostra discussió, considerarem un espai de producte intern: un espai vectorial V juntament amb un producte interior definit a V.
Com a exemple, per a un producte interior, l'espai és el conjunt de tots els vectors de posició tridimensionals juntament amb el producte puntual habitual.
Què és ortogonal?
Un subconjunt no buit S d'un espai producte interior V es diu que és ortogonal, si i només si per a cada u, v diferent a S, [u, v]=0; és a dir, el producte intern de u i v és igual a l'escalar zero a l'espai del producte interior.
Per exemple, en el conjunt de tots els vectors de posició tridimensionals, això equival a dir que, per a cada parell diferent de vectors de posició p i q a S, p i q són perpendiculars entre si. (Recordeu que el producte interior en aquest espai vectorial és el producte escalat. A més, el producte escalar de dos vectors és igual a 0 si i només si els dos vectors són perpendiculars entre si.)
Considereu el conjunt S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, que és un subconjunt dels vectors de posició tridimensionals. Observeu que (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 i (0, 2, 0).(0, 0)., 5)=0. Per tant, el conjunt S és ortogonal. En particular, es diu que dos vectors són ortogonals si el seu producte interior és 0. Per tant, cada parell de vectors en Sis ortogonal.
Què és l'ortonormal?
Un subconjunt no buit S d'un espai producte interior V es diu que és ortonormal si i només si S és ortogonal i per a cada vector u de S, [u, u]=1. Per tant, es pot veure que cada conjunt ortonormal és ortogonal però no a l'inrevés.
Per exemple, en el conjunt de tots els vectors de posició tridimensionals, això equival a dir que, per a cada parell diferent de vectors de posició p i q a S, p i q són perpendiculars entre si, i per cada p en S, |p|=1. Això es deu al fet que la condició [p, p]=1 es redueix a p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, que és equivalent a |p |=1. Per tant, donat un conjunt ortogonal, sempre podem formar un conjunt ortonormal corresponent dividint cada vector per la seva magnitud.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} és un subconjunt ortonormal del conjunt de tots els vectors de posició tridimensionals. És fàcil veure que es va obtenir dividint cadascun dels vectors del conjunt S, per les seves magnituds.
Quina diferència hi ha entre ortogonal i ortonormal?
- Un subconjunt no buit S d'un espai producte interior V es diu que és ortogonal, si i només si per a cada u, v diferent a S, [u, v]=0. Tanmateix, és ortonormal, si i només si es compleix una condició addicional: per a cada vector u de S, [u, u]=1.
- Qualsevol conjunt ortonormal és ortogonal però no a l'inrevés.
- Qualsevol conjunt ortogonal correspon a un conjunt ortonormal únic, però un conjunt ortonormal pot correspondre a molts conjunts ortogonals.
