Distribució binomial vs normal
Les distribucions de probabilitat de variables aleatòries tenen un paper important en el camp de l'estadística. D'aquestes distribucions de probabilitat, la distribució binomial i la distribució normal són dues de les més freqüents a la vida real.
Què és la distribució binomial?
La distribució binomial és la distribució de probabilitat corresponent a la variable aleatòria X, que és el nombre d'èxits d'una seqüència finita d'experiments independents sí/no cadascun dels quals té una probabilitat d'èxit p. A partir de la definició de X, és evident que és una variable aleatòria discreta; per tant, la distribució binomial també és discreta.
La distribució es denota com a X ~ B (n, p) on n és el nombre d'experiments i p és la probabilitat d'èxit. Segons la teoria de la probabilitat, podem deduir que B (n, p) segueix la funció de massa de probabilitat [làtex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, … n [/làtex]. D'aquesta equació, es pot deduir més que el valor esperat de X, E(X)=np i la variància de X, V(X)=np (1-p).
Per exemple, considereu un experiment aleatori de llançar una moneda 3 vegades. Definiu l'èxit com l'obtenció de H, el fracàs com l'obtenció de T i la variable aleatòria X com el nombre d'èxits de l'experiment. Aleshores X ~ B (3, 0,5) i la funció de massa de probabilitat de X donada per [làtex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/làtex]. Per tant, la probabilitat d'obtenir almenys 2 H és P(X ≥ 2)=P (X=2 o X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52) (0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Quina és la distribució normal?
La distribució normal és la distribució de probabilitat contínua definida per la funció de densitat de probabilitat, [làtex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Els paràmetres [latex] \mu i \\sigma [/latex] denoten la mitjana i la desviació estàndard de la població d'interès. Quan [làtex] \mu=0 i \\sigma=1 [/latex] la distribució s'anomena distribució normal estàndard.
Aquesta distribució s'anomena normal ja que la majoria dels fenòmens naturals segueixen la distribució normal. Per exemple, el coeficient intel·lectual de la població humana es distribueix normalment. Tal com es veu al gràfic, és unimodal, simètric respecte a la mitjana i en forma de campana. La mitjana, la moda i la mediana coincideixen. L'àrea sota la corba correspon a la part de la població que compleix una determinada condició.
Les parts de població a l'interval [làtex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [làtex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] són aproximadament el 68,2%, el 95,6% i el 99,8% respectivament.
Quina diferència hi ha entre distribucions binomials i normals?
- La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta mentre que la distribució normal és contínua.
- La funció de massa de probabilitat de la distribució binomial és [làtex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], mentre que la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal és [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- La distribució binomial s'aproxima amb la distribució normal en determinades condicions, però no al revés.
