Diferència entre integració i suma

2024 Autora: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 13:34

Integració versus suma

A les matemàtiques de batxillerat, la integració i la suma sovint es troben a les operacions matemàtiques. Sembla que s'utilitzen com a eines diferents i en situacions diferents, però comparteixen una relació molt estreta.

Més sobre la suma

La suma és l'operació d'afegir una seqüència de nombres i l'operació sovint es denota amb la lletra grega de sigma majúscula Σ. S'utilitza per abreujar la suma i igual a la suma/total de la seqüència. Sovint s'utilitzen per representar la sèrie, que bàsicament són seqüències infinites resumides. També es poden utilitzar per indicar la suma de vectors, matrius o polinomis.

La suma es fa normalment per a un rang de valors que es poden representar amb un terme general, com ara una sèrie que té un terme comú. El punt inicial i el punt final de la suma es coneixen com a límit inferior i límit superior de la suma, respectivament.

Per exemple, la suma de la seqüència a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n és a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n que es pot representar fàcilment mitjançant la notació de suma com ∑ _i=1 a_{i; i s'anomena índex de suma.}

S'utilitzen moltes variacions per a la suma basada en l'aplicació. En alguns casos, el límit superior i el límit inferior es poden donar com un interval o un interval, com ara ∑_1≤i≤100 a_i i ∑_{i∈[1, 100]} a_i O es pot donar com un conjunt de números com ∑_i∈P a_{i, on P és un conjunt definit.}

En alguns casos, es poden utilitzar dos o més signes sigma, però es poden generalitzar de la següent manera; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

A més, la suma segueix moltes regles algebraiques. Com que l'operació incrustada és la suma, moltes de les regles comunes de l'àlgebra es poden aplicar a les sumes en si i als termes individuals representats per la suma.

Més informació sobre la integració

La integració es defineix com el procés invers de diferenciació. Però en la seva visió geomètrica també es pot considerar com l'àrea tancada per la corba de la funció i l'eix. Per tant, el càlcul de l'àrea dóna el valor d'una integral definida tal com es mostra al diagrama.

Font de la imatge:

El valor de la integral definida és en realitat la suma de les petites tires dins de la corba i de l'eix. L'àrea de cada franja és l'alçada × amplada en el punt de l'eix considerat. L'amplada és un valor que podem triar, per exemple ∆x. I l'alçada és aproximadament el valor de la funció en el punt considerat, per exemple f (x_{i). A partir del diagrama, és evident que com més petites siguin les tires, millor les tires s'ajusten dins de l'àrea delimitada, per tant, una millor aproximació del valor.}

Així, en general, la integral definida I, entre els punts a i b (és a dir, a l'interval [a, b] on a<b), es pot donar com I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, on n és el nombre de tires (n=(b-a)/∆x). Aquesta suma de l'àrea es pot representar fàcilment utilitzant la notació de suma com I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Com que l'aproximació és millor quan ∆x és menor, podem calcular el valor quan ∆x→0. Per tant, és raonable dir I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Com a generalització del concepte anterior, podem triar el ∆x en funció de l'interval considerat indexat per i (escollint l'amplada de l'àrea en funció de la posició). Aleshores obtenim

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Això es coneix com la integral de Reimann de la funció f (x) a l'interval [a, b]. En aquest cas, a i b es coneixen com a límit superior i límit inferior de la integral. La integral de Reimann és una forma bàsica de tots els mètodes d'integració.

En essència, la integració és la suma de l'àrea quan l'amplada del rectangle és infinitesimal.

Quina diferència hi ha entre la integració i la suma?

• La suma és la suma d'una seqüència de números. Normalment, la suma es dóna d'aquesta forma ∑_i=1 a_{i quan els termes de la seqüència tenen un patró i es poden expressar amb un terme general.}

• La integració és bàsicament l'àrea limitada per la corba de la funció, l'eix i els límits superior i inferior. Aquesta àrea es pot donar com la suma d'àrees molt més petites incloses a l'àrea delimitada.

• La suma implica els valors discrets amb els límits superior i inferior, mentre que la integració implica valors continus.

• La integració es pot interpretar com una forma especial de suma.

• En els mètodes de càlcul numèric, la integració sempre es realitza com una suma.