La diferència clau entre la mecànica lagrangiana i la hamiltoniana és que la mecànica lagrangiana descriu la diferència entre les energies cinètica i potencial, mentre que la mecànica hamiltoniana descriu la suma de les energies cinètica i potencial.
La mecànica lagrangiana i la mecànica hamiltoniana són conceptes importants en química física que pertanyen a la mecànica clàssica. La mecànica lagrangiana va ser desenvolupada pel matemàtic italià Joseph-Louis Lagrange el 1788, mentre que la mecànica hamiltoniana va ser desenvolupada per William Rowan Hamilton el 1833.
Què és la mecànica lagrangiana?
La mecànica lagrangiana es pot definir com una reformulació de la mecànica clàssica que va ser introduïda pel matemàtic italià anomenat Joseph-Louis Lagrange el 1788. En aquest concepte químic, la trajectòria d'un sistema físic que conté partícules es deriva mitjançant la resolució de les equacions de Lagrange en una de dues formes: les equacions de Lagrange del primer tipus i les equacions de Lagrange del segon tipus.
El primer tipus d'equacions de Lagrange tracta les restriccions de manera explícita com a equacions addicionals utilitzant multiplicadors de Lagrange, mentre que el segon tipus d'equacions de Lagrange incorpora les restriccions directament mitjançant una elecció encertada de coordenades generalitzades. Tanmateix, en qualsevol d'aquests dos tipus, una funció matemàtica anomenada lagrangiana es coneix com una funció de les coordenades generalitzades, les seves derivades temporals i el temps. A més, aquest concepte conté informació sobre la dinàmica del sistema.
Figura 01: Joseph-Louis Lagrange
La mecànica lagrangiana és un concepte químic matemàticament més sofisticat i sistemàtic. No s'han introduït necessàriament nous conceptes de física per a l'aplicació de la mecànica lagrangiana en comparació amb la mecànica newtoniana. Tanmateix, la mecànica lagrangiana és molt útil per resoldre problemes mecànics en física quan les formulacions de Newton de la mecànica clàssica no són convenients.
Què és la mecànica hamiltoniana?
La mecànica hamiltoniana és una formulació matemàticament sofisticada de la mecànica clàssica. Aquest concepte químic contribueix a la formulació de la mecànica estadística i la mecànica quàntica. Aquest concepte va ser desenvolupat per William Rowan Hamilton el 1833. El va desenvolupar partint de la mecànica lagrangiana. A més, la mecànica hamiltoniana és equivalent a les lleis del moviment de Newton en les limitacions de la mecànica clàssica.
Figura 02: Sir William Hamilton
A la mecànica hamiltoniana, podem utilitzar un conjunt de coordenades canòniques per descriure els sistemes físics clàssics: r=(q, p). cadascuna de les coordenades d'aquests components qi, pi està indexada al marc de referència d'aquest sistema físic. Els components de coordenades qi s'anomenen com a coordenades generalitzades, mentre que pi s'anomenen com els seus moments conjugats.
Quina diferència hi ha entre la mecànica lagrangiana i la hamiltoniana?
La mecànica lagrangiana i la mecànica hamiltoniana són conceptes importants en química física que pertanyen a la mecànica clàssica. La mecànica lagrangiana va ser desenvolupada pel matemàtic italià anomenat Joseph-Louis Lagrange el 1788, mentre que la mecànica hamiltoniana va ser desenvolupada per William Rowan Hamilton el 1833. La diferència clau entre la mecànica lagrangiana i la hamiltoniana és que la mecànica lagrangiana descriu la diferència entre les energies cinètica i potencial, mentre que La mecànica hamiltoniana descriu la suma de les energies cinètica i potencial. A més, la mecànica lagrangiana utilitza coordenades cartesianes en els càlculs, mentre que la mecànica hamiltoniana utilitza coordenades canòniques.
A continuació hi ha un resum de la diferència entre la mecànica lagrangiana i la hamiltoniana en forma tabular.
Resum: mecànica lagrangiana i hamiltoniana
La mecànica lagrangiana es pot definir com una reformulació de la mecànica clàssica. La mecànica hamiltoniana és una formulació matemàticament sofisticada de la mecànica clàssica. La diferència clau entre la mecànica lagrangiana i la hamiltoniana és que la mecànica lagrangiana descriu la diferència entre les energies cinètica i potencial, mentre que la mecànica hamiltoniana descriu la suma de les energies cinètica i potencial.
