Propietat transitiva versus propietat de substitució
La propietat de substitució s'utilitza per a valors o variables que representen nombres. La propietat de substitució de la igu altat estableix que per a qualsevol nombre a i b, si a=b, llavors a es pot substituir per b. Per tant, si a=b, podem canviar qualsevol "a" per una "b" o qualsevol "b" per una "a".
Per exemple, si es dona que x=6, llavors podem resoldre l'expressió (x+4)/5 substituint el valor de x. Substituint 5 per x a l'expressió anterior; (6+4)/5=2. Essencialment, dos valors qualsevol es poden substituir l'un per l' altre, si i només si, són iguals entre si.
Hi ha una propietat de substitució definida a la geometria. Segons aquesta definició de propietat de substitució, si dos objectes geomètrics (pot ser dos angles, segments, triangles o el que sigui) són congruents, aquests dos objectes geomètrics es poden substituir per un altre en una declaració que inclogui un d'ells.
La propietat transitiva és una definició més formal, que es defineix a les relacions binàries. Una relació R del conjunt A al conjunt B és un conjunt de parells ordenats, si A i B són iguals, diem que la relació és una relació binària sobre A. La propietat transitiva és una de les propietats (reflexiva, simètrica, Transitiu) utilitzat per definir relacions d'equivalència.
Una relació R és transitiva, si i només si, x està relacionada per R amb y, i y està relacionada per R amb z, aleshores x està relacionada per R amb z. Simbòlicament, una propietat transitiva es pot definir de la següent manera. Sigui a, b i c que pertanyen a un conjunt A, una relació binària '~' té la propietat transitiva definida per, Si a ~ b i b ~ c, això implica a ~ c.
Per exemple, "ser més gran que" és una relació transitiva. Si a, b i c són nombres reals tals que a és més gran que b i b és més gran que c, llavors és una conseqüència lògica que a sigui més gran que c. "Ser més alt" també és una relació transitiva. Si Kate és més alta que Mary i Mary és més alta que Jenney, implica que Kate és més alta que Jenney.
No podem aplicar criteris de relació transitiva a totes les relacions binàries. Per exemple, si Bill és el pare de John i John és el pare de Fred, això no implica que Bill sigui el pare de Fred. De la mateixa manera, "m'agrada" és una propietat no transitiva. Si a Wilson li agrada Henry i a Henry li agrada David, això no vol dir que a Wilson li agradi David. Per tant, no és una relació transitiva.
En geometria, la propietat transitiva (per a tres segments o angles) es defineix de la manera següent:
Si dos segments (o angles) són congruents cadascun amb un tercer segment (o angle), aleshores són congruents entre si.
La propietat transitiva de la igu altat es defineix de la següent manera. Sigui a, b i c tres elements qualsevol del conjunt A, de manera que a=b i b=c, aleshores a=c. Això sembla semblant a la propietat de substitució, que es pot considerar substituint b per c a l'equació a=b. Tanmateix, aquestes dues propietats no són iguals.
