Funció discreta versus funció contínua
Les funcions són una de les classes més importants d'objectes matemàtics, que s'utilitzen àmpliament en gairebé tots els subcamps de les matemàtiques. Com els seus noms suggereixen, tant les funcions discretes com les contínues són dos tipus especials de funcions.
Una funció és una relació entre dos conjunts definida de manera que per a cada element del primer conjunt, el valor que li correspon al segon conjunt és únic. Sigui f una funció definida del conjunt A al conjunt B. Aleshores, per a cada x ϵ A, el símbol f (x) denota el valor únic del conjunt B que correspon a x. S'anomena imatge de x sota f. Per tant, una relació f de A a B és una funció, si i només si per, cada xϵ A i y ϵ A; si x=y aleshores f (x)=f (y). El conjunt A s'anomena domini de la funció f, i és el conjunt en què es defineix la funció.
Per exemple, considereu la relació f de R a R definida per f (x)=x + 2 per a cada xϵ A. Aquesta és una funció el domini de la qual és R, ja que per a cada nombre real x i y, x=y implica f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Però la relació g de N a N definida per g (x)=a, on 'a' és un factor primer de x no és una funció com g (6)=3, així com g (6)=2.
Què és una funció discreta?
Una funció discreta és una funció el domini de la qual és com a molt comptable. Simplement, això vol dir que és possible fer una llista que inclogui tots els elements del domini.
Qualsevol conjunt finit és com a molt comptable. El conjunt de nombres naturals i el conjunt de nombres racionals són exemples com a màxim de conjunts infinits comptables. El conjunt de nombres reals i el conjunt de nombres irracionals no són com a molt comptables. Tots dos conjunts són incomptables. Vol dir que és impossible fer una llista que inclogui tots els elements d'aquests conjunts.
Una de les funcions discretes més comunes és la funció factorial. f:N U{0}→N definit recursivament per f (n)=n f (n-1) per a cada n ≥ 1 i f (0)=1 s'anomena funció factorial. Observeu que el seu domini N U{0} és com a màxim comptable.
Què és una funció contínua?
Sigui f una funció tal que per a cada k en el domini de f, f (x)→ f (k) com x → k. Aleshores f és una funció contínua. Això vol dir que és possible fer f (x) propera arbitràriament a f (k) fent x prou propera a k per a cada k en el domini de f.
Considereu la funció f (x)=x + 2 a R. Es pot veure que com a x → k, x + 2 → k + 2 és a dir f (x)→ f (k). Per tant, f és una funció contínua. Ara, considereu g en nombres reals positius g (x)=1 si x > 0 i g (x)=0 si x=0. Aleshores, aquesta funció no és una funció contínua ja que el límit de g (x) no existeix (i, per tant, no és igual a g (0)) com x → 0.
Quina diferència hi ha entre la funció discreta i la contínua?
• Una funció discreta és una funció el domini de la qual és com a molt comptable, però no cal que sigui el cas de les funcions contínues.
• Totes les funcions contínues ƒ tenen la propietat que ƒ(x)→ƒ(k) com a x → k per a cada x i per a cada k en el domini de ƒ, però no és el cas en algunes funcions discretes.
