Equacions diferencials lineals vs no lineals
Una equació que conté almenys un coeficient diferencial o una derivada d'una variable desconeguda es coneix com a equació diferencial. Una equació diferencial pot ser lineal o no lineal. L'objectiu d'aquest article és explicar què és una equació diferencial lineal, què és una equació diferencial no lineal i quina és la diferència entre equacions diferencials lineals i no lineals.
Des del desenvolupament del càlcul al segle XVIII per part de matemàtics com Newton i Leibnitz, l'equació diferencial ha tingut un paper important en la història de les matemàtiques. Les equacions diferencials són de gran importància en matemàtiques pel seu ventall d'aplicacions. Les equacions diferencials són el cor de cada model que desenvolupem per explicar qualsevol escenari o esdeveniment del món, ja sigui en física, enginyeria, química, estadística, anàlisi financera o biologia (la llista és infinita). De fet, fins que el càlcul es va convertir en una teoria establerta, les eines matemàtiques adequades no estaven disponibles per analitzar els problemes interessants de la naturalesa.
Les equacions resultants d'una aplicació específica del càlcul poden ser molt complexes i, de vegades, no es poden resoldre. Tanmateix, n'hi ha que podem resoldre, però que poden semblar semblants i confusos. Per tant, per facilitar la identificació, les equacions diferencials es classifiquen segons el seu comportament matemàtic. Lineal i no lineal és una d'aquestes categoritzacions. És important identificar la diferència entre equacions diferencials lineals i no lineals.
Què és una equació diferencial lineal?
Suposem que f: X→Y i f(x)=y, una equació diferencial sense termes no lineals de la funció desconeguda y i les seves derivades es coneix com a equació diferencial lineal.
Imposa la condició que y no pugui tenir termes d'índex més alts, com ara y2, y3, … i múltiples de derivades com ara com a
Tampoc no pot contenir termes no lineals com ara Sin y, e y ^-2 o ln y. Pren la forma
on y i g són funcions de x. L'equació és una equació diferencial d'ordre n, que és l'índex de la derivada d'ordre més alt.
En una equació diferencial lineal, l'operador diferencial és un operador lineal i les solucions formen un espai vectorial. Com a resultat de la naturalesa lineal del conjunt de solucions, una combinació lineal de les solucions també és una solució de l'equació diferencial. És a dir, si y1 i y2 són solucions de l'equació diferencial, aleshores C1 y 1+ C2 y2 també és una solució.
La linealitat de l'equació és només un paràmetre de la classificació i, a més, es pot classificar en homogènies o no homogènies i en equacions diferencials ordinàries o parcials. Si la funció és g=0, aleshores l'equació és una equació diferencial homogènia lineal. Si f és una funció de dues o més variables independents (f: X, T→Y) i f(x, t)=y, aleshores l'equació és una equació diferencial parcial lineal.
El mètode de solució de l'equació diferencial depèn del tipus i dels coeficients de l'equació diferencial. El cas més fàcil es presenta quan els coeficients són constants. Un exemple clàssic d'aquest cas és la segona llei del moviment de Newton i les seves diverses aplicacions. La segona llei de Newton produeix una equació diferencial lineal de segon ordre amb coeficients constants.
Què és una equació diferencial no lineal?
Les equacions que contenen termes no lineals es coneixen com a equacions diferencials no lineals.
Totes les anteriors són equacions diferencials no lineals. Les equacions diferencials no lineals són difícils de resoldre, per tant, cal un estudi detallat per obtenir una solució correcta. En el cas d'equacions diferencials parcials, la majoria de les equacions no tenen solució general. Per tant, cada equació s'ha de tractar de manera independent.
L'equació de Navier-Stokes i l'equació d'Euler en dinàmica de fluids, les equacions de camp de la relativitat general d'Einstein són equacions diferencials parcials no lineals ben conegudes. De vegades, l'aplicació de l'equació de Lagrange a un sistema variable pot donar lloc a un sistema d'equacions diferencials parcials no lineals.
Quina diferència hi ha entre les equacions diferencials lineals i no lineals?
• Una equació diferencial, que només té els termes lineals de la variable desconeguda o dependent i les seves derivades, es coneix com a equació diferencial lineal. No té cap terme amb la variable dependent d'índex superior a 1 i no conté cap múltiple de les seves derivades. No pot tenir funcions no lineals com ara funcions trigonomètriques, funcions exponencials i funcions logarítmiques respecte a la variable dependent. Qualsevol equació diferencial que contingui els termes esmentats anteriorment és una equació diferencial no lineal.
• Les solucions d'equacions diferencials lineals creen espai vectorial i l'operador diferencial també és un operador lineal a l'espai vectorial.
• Les solucions d'equacions diferencials lineals són relativament més fàcils i existeixen solucions generals. Per a les equacions no lineals, en la majoria dels casos, la solució general no existeix i la solució pot ser específica del problema. Això fa que la solució sigui molt més difícil que les equacions lineals.
