Laplace vs Transformades de Fourier
Tant la transformada de Laplace com la transformada de Fourier són transformades integrals, que s'utilitzen més habitualment com a mètodes matemàtics per resoldre sistemes físics modelats matemàticament. El procés és senzill. Un model matemàtic complex es converteix en un model més senzill i resoluble mitjançant una transformada integral. Un cop resolt el model més simple, s'aplica la transformada integral inversa, que donaria la solució al model original.
Per exemple, com que la majoria dels sistemes físics donen lloc a equacions diferencials, es poden convertir en equacions algebraiques o, en un grau inferior, equacions diferencials fàcilment resolubles mitjançant una transformada integral. Aleshores, resoldre el problema serà més fàcil.
Què és la transformada de Laplace?
Donada una funció f (t) d'una variable real t, la seva transformada de Laplace es defineix per la integral [làtex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (sempre que existeix), que és una funció d'una variable complexa s. Normalment es denota per L { f (t)}. La transformada de Laplace inversa d'una funció F (s) es pren com la funció f (t) de tal manera que L { f (t)}=F (s), i en la notació matemàtica habitual escrivim, L-1{ F (s)}=f (t). La transformació inversa es pot fer única si no es permeten funcions nul·les. Es poden identificar aquests dos com a operadors lineals definits a l'espai de funcions, i també és fàcil veure que, L -1{ L { f (t)}}=f (t), si no es permeten funcions nul·les.
La taula següent enumera les transformacions de Laplace d'algunes de les funcions més habituals.
Què és la transformada de Fourier?
Donada una funció f (t) d'una variable real t, la seva transformada de Laplace es defineix per la integral [làtex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (sempre que existeix), i normalment es denota amb F { f (t)}. La transformada inversa F -1{ F (α)} ve donada per la integral [làtex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. La transformada de Fourier també és lineal i es pot considerar com un operador definit a l'espai de funcions.
Usant la transformada de Fourier, la funció original es pot escriure de la següent manera, sempre que la funció només tingui un nombre finit de discontinuïtats i sigui absolutament integrable.
Quina diferència hi ha entre la transformada de Laplace i la de Fourier?
- La transformada de Fourier d'una funció f (t) es defineix com a [làtex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], mentre que la transformada de Laplace es defineix com a [làtex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- La La transformada de Fourier només es defineix per a funcions definides per a tots els nombres reals, mentre que la transformada de Laplace no requereix que la funció es defineixi en el conjunt dels nombres reals negatius.
- La transformada de Fourier és un cas especial de la transformada de Laplace. Es pot veure que tots dos coincideixen per a nombres reals no negatius. (és a dir, prenem s a Laplace com iα + β on α i β són reals de manera que e β=1/ √(2ᴫ))
- Totes les funcions que tinguin una transformada de Fourier tindran una transformada de Laplace, però no a l'inrevés.
