Sèries aritmètiques i geomètriques
La definició matemàtica d'una sèrie està estretament relacionada amb les seqüències. Una successió és un conjunt ordenat de nombres i pot ser un conjunt finit o infinit. Una seqüència de nombres en què la diferència entre dos elements és una constant es coneix com a progressió aritmètica. Una successió amb un quocient constant de dos nombres successius es coneix com a progressió geomètrica. Aquestes progressions poden ser finites o infinites i, si són finites, el nombre de termes és comptable, sinó incomptables.
En general, la suma dels elements d'una progressió es pot definir com una sèrie. La suma d'una progressió aritmètica es coneix com a sèrie aritmètica. De la mateixa manera, la suma d'una progressió geomètrica es coneix com a sèrie geomètrica.
Més sobre les sèries d'aritmètica
En una sèrie aritmètica, els termes successius tenen una diferència constant.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; on a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, i així successivament.
Aquesta diferència d es coneix com a diferència comuna, i el terme nth ve donat per an =a 1+ (n-1)d; on a1 és el primer terme.
El comportament de la sèrie canvia en funció de la diferència comuna d. Si la diferència comuna és positiva, la progressió tendeix a ser infinit positiva, i si la diferència comuna és negativa tendeix cap a l'infinit negatiu.
La suma de la sèrie es pot obtenir mitjançant la següent fórmula senzilla, que va ser desenvolupada per primera vegada per l'astrònom i matemàtic indi Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
La suma Sn pot ser finita o infinita, segons el nombre de termes.
Més sobre les sèries geomètriques
Una sèrie geomètrica és una sèrie amb el quocient dels nombres successius constant. És una sèrie important que es troba en l'estudi de la sèrie, per les propietats que posseeix.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
En funció de la proporció r, el comportament de la sèrie es pot classificar de la següent manera. r={|r|≥1 sèrie divergeix; r≤1 sèrie converge}. A més, si r<0 la sèrie oscil·la, és a dir, la sèrie té valors alterns.
La suma de la sèrie geomètrica es pot calcular mitjançant la fórmula següent. Sn =a(1-r) / (1-r); on a és el terme inicial i r és la raó. Si la relació r≤1, la sèrie convergeix. Per a una sèrie infinita, el valor de la convergència ve donat per Sn=a / (1-r).
La sèrie geomètrica té nombroses aplicacions en els camps de les ciències físiques, l'enginyeria i l'economia
Quina diferència hi ha entre les sèries aritmètiques i geomètriques?
• Una sèrie aritmètica és una sèrie amb una diferència constant entre dos termes adjacents.
• Una sèrie geomètrica és una sèrie amb un quocient constant entre dos termes successius.
• Totes les sèries aritmètiques infinites són sempre divergents, però depenent de la proporció, la sèrie geomètrica pot ser convergent o divergent.
• La sèrie geomètrica pot tenir oscil·lació en els valors; és a dir, els nombres canvien de signe alternativament, però la sèrie aritmètica no pot tenir oscil·lacions.
